Ejercicios Resueltos

Solucionario Cuarto año de educación secundaria

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Cuarto Año de Secundaria

CAPÍTULO 2
SISTEMA DE NÚMEROS REALES (Pág. 33) NIVEL I Resolución 1 ⇒ I es verdadero 2a2 − a3 − a − a (− 2a + − a (a−1)2 Donde : (a − 1)2 > 0 ; ∀a ∈ IR Luego: Si a > 0 ; a2 ∀a ∈ IR + 1)

La proposición I dice: “La operación de división en IR es asociativa”, lo cual lo comprobaremos con un ejemplonumérico: Sea: (8÷4) : 2 = 8 : (4 : 2) 2:2=8:2 1=4

− a ( a 2 − 2 a + 1)

∴

La proposición I es falsa.

La proposición III dice: “Entre dos números reales distintos existen infinitos números reales”, lo cual es cierto por definición de números reales.

F Sisemultiplicapor un I GG número positivo,no JJ GH cambia el sentido dela JK desigualdad

∴ La proposición III es verdadera.
Laproposición II es parte de la proposición III, por lo cual si III es verdadera, entonces II será verdadera.

F Si se multiplica por un I G número negativo , JJ ⇒ a ⋅(a − 1)2 > 0 G GH cambia el sentido. JK de la desigualdad
⇒ − a (a − 1)2 < 0 ←
número negativo

∴
Luego:

La proposición II es verdadera.

• Si a < 0
⇒ a(a − 1)2 < 0

El valor de verdad de las proposiciones será:

∴Resolución 2

FVV

Rpta B

− a(a − 1)2 > 0

←

número positivo

• Si b < a < 0 ⇒ b < a → a2 > b2 ⇒ I es falsa • Si a < 0 → a2 > 0 b < 0 → b3 < 0 Luego: −1 < b < a < 0 ⇒ a2 > b3 ⇒ II es verdadera Si −1 < b < a < 0 • ⇒ b3 < a3
⇒ III es falsa El valor de verdad de las afirmaciones será:

⇒ La proposición II no se cumple ∀a ∈ IR ⇒ II es falso
• Si a < 0

⇒
− a3 > 0 − a3 < 0
←
númeropositivo

La expresión III es positiva a ∀a < 0

⇒ III es falso ∴ Es siempre negativa: solo I Rpta A
Resolución 4

∴
Resolución • 3

FVF

Rpta B

• Si 3 < x < 4 3−2 0 (positivo) “a” es negativo

∴ x = − 20 Rpta B
NIVEL II Resolución 1

a0 ⇒ a ⋅ b = (−) ⋅ (+) = (−) a ⋅ b < 0 (Negativo) Luego: a2 > a ⋅ b (Positivo) > (Negativo) ⇒ La proposición I es verdadera. a Si: a < b  → >    >

Tenemos que: 1 1 b2 ⇒ La proposición IV no se puede afirmar ∴ Son verdaderas solo I, II y III Rpta. C Resolución 5 a−1 b−1

Ordenando de mayor a menor, tenemos que: b>a>c
⇒

b;a;c

Rpta. E

Resolución

8

El elemento neutro de la adición es: 0 Del enunciado, tenemos que: x 1 1 − ⋅ =0 x − 5 11 33

FG H

IJ K

Según el enunciado: “M” y “N” son inversos multiplicativos ⇒ M⋅N=1x 1 − =0 x − 5 11 x 1 = x − 5 11

FG 3x + 1IJ ⋅ FG x − 2 IJ = 1 H x − 1 K H 3x + 2 K b3x + 1gb x − 2g = 1 b x − 1gb3x + 2g
(3x+1) (x − 2) = (3x+2) (x − 1) 3x2−6x+x − 2 = 3x2−3x+2x − 2 −5x = − x 4x = 0 Si 2P y

∴

x=−

1 2

Rpta. B

Resolución

9

Q son inversos aditivos, tenemos que: 6 2P + Q =0 6

∴
Resolución Si 6

x=0

Rpta. D

5x − 3 = 2x − 9

2x – 9 ≥ 0 → x ≥4,5 Ι 5x − 3 = 2x − 9 ∨ ΙΙ 5× – 3 = –(2× – 9) 3x = − 6 x = –2 5× – 3 = –(2× + 9) 7x = 12 x= 12 7

F I GG x + 2 JJ 1 F I GG x − 1 JJ + GH 1− 2 JK = 0 2 1 6 GH 1+ 2 JK F I GG x + 2 JJ F I G 1J G 1J H 2 K = 0 2G x − J + GH 3 JK 6 2 F 2 I F x + 4 IJ = 0 2G x − J + G H 3K H 6 K
2x − 4 x+4 + =0 3 6
12x − 8 + x + 4 =0 6

−2 Y

1 ∉ [4,5; + ∝ 2

∴c ⋅ s =

{}
Rpta. C 7 2 = 1,414213562

13 x −4 =0 6 13x − 4 = 0

Resolución a=

∴

x=

4 13

Rpta. B

b = 3 3 = 1,44224957 c = 6 6 = 1,348006155 -6-

Cuarto Año de Secundaria

Resolución Si

10 tenemos que:

II)

FG 3x IJ es el neutro multiplicativo, H 7x − 4 K
3x =1 7x − 4 3x = 7x − 4 4 = 4x x=1

FG H

3+

1 3

IJ 2 = K

3 +2 3⋅

2

1 1 + 3 3

FG IJ 2 H K

= 3+ = III)

2 3 1 + 3 9 (número decimal)28 + 6 3 9

Luego: 5x3−2 = 5(1)3−2

2+ 3 = x=

x+ y

∴ 5x3 − 2 = 3 Rpta. C
Resolución M= 11 x +1

2+m 2−m ; y= 2 2 m=1 x= y= 3 + 2 1 2 1 2 3 2 1 2

Donde: m = 22 − 3

e F M= H

jb g 2 I x − 12 b x + 1g K je
x −1 x +1 Luego:

⇒ x=
⇒ y=

2 +1 2 2 −1 2

M = (x − 1) (x + 1) M = x2 − 12
⇒ M = x2 − 1 ................ (I)

2+ 3 =

De la condición: x = 2+ 3 + 2− 3...