Ejercicios tema 2 microeconomia

PROBLEMAS INDIVIDUALES BLOQUE II Y III 1.- Obtenga la expresión analítica de la función de demanda, para los bienes X e Y, de los individuos cuyas funciones de utilidad son: a) U(X,Y)= 2lnX+5lnY; b) U(X,Y)=X2+4Y2+4XY; c) U(X,Y)=min{(1/4)X,(3/2)Y}. a) U(X, Y)= 2lnX + 5lnY Hallamos la función de demanda de X e Y, para ello las dos condiciones de equilibrio son: ∂U/ ∂X (1)RMS= ∂U/ ∂Y (2) I=PxX+PyY= Py Px ; 5/Y 2/X = Py Px ; 5X 2Y = Py Px

Resolvemos el sistema:

2PyY 5PxX=2PyY; X= 5Px 2PyY I=Px ( 5Px 2I X*= 7Px ) + PyY ; I= (7/5) PyY ; Y*= 7Py 5I ahora sustituimos en la ecuación I=PxX + PyY

b) U(X, Y)=X2+4Y2+4XY Hallamos la función de demanda de X e Y, para ello las dos condiciones de equilibrio son: (1) RMSx,y=Px/Py ; (2X+4Y)/(8Y+4X)=Px/Py; 2(X+2Y)/4(2Y+X)=Px/Py;2/4=Px/Py (2)I=PxX+PyY

Aquí vemos que la RMSx,y es constante para cualquier X, Y, eso significa que las curvas de indiferencia son líneas rectas con pendiente -1/2. Así que tenemos que ver lo que sucede para distintos precios relativos:  Si Px/Py=1/2 entonces la restricción presupuestaria coincide con una determinada curva de indiferencia y la solución óptima sería cualquier cesta de consumo (X*,Y*) que cumplela segunda condición I=PxX+PyY  Si Px/Py < 1/2 la RMSx,y es mayor que la pendiente en valor absoluto de la restricción presupuestaria, si razonamos gráficamente comprobamos que la elección óptima será el consumo del bien X, Y*=0 X*= I/Px  Si Px/Py >1/2 la RMSx,y es menor que la pendiente en valor absoluto de la restricción presupuestaria, si razonamos gráficamente comprobamos que la elecciónóptima será el consumo del bien Y, X*=0 Y*=I/Py c) U(X, Y)= min{(1/4)X,(3/2)Y}. En este caso tenemos bienes complementarios, cuyas curvas de indiferencia sabemos que no son derivables en todos los puntos. Gráficamente sabemos que la cesta de consumo óptima es aquella que se sitúa en la restricción presupuestaria y para la que “no sobra nada” de ningún bien. Entonces para este caso las condiciones deequilibrio son: (1) I=PxX+PyY (2) (1/4)X=(3/2)Y Resolvemos el sistema: X=6Y; I=Px(6Y)+PyY; I=Y(6Px+Py); Y*=I/(6Px+Py) X*=6I/(6Px+Py)

2.- Obtenga la expresión analítica y represente gráficamente la curva de Engel para los tres consumidores del ejercicio anterior, cuando los precios de los bienes son PX=10, PY=20. En cada caso, clasifique los

bienes teniendo en cuenta la variación en suconsumo cuando cambia la renta. a) U(X, Y)= 2lnX+5lnY Px=10 Py=20 La curva de Engel nos da la relación entra la cantidad demandada del bien y la renta. Para obtener las curvas de Engel para los bienes X e Y, tomamos las funciones de demanda X* e Y* del problema 1, y sustituimos los valores de precios que tenemos. X*=2I/7Px; X*=2I/70=I/35 Y*=5I/7Py; Y*=5I/35=I/7

X

Curva de Engel del bien X

YCurva de Engel del bien Y

1 35 I

1 7 I

Como vemos ambas curvas son líneas rectas, y tenemos que dx*/dI=1/35; dy*/dI=1/7 las primera derivadas constantes para cualquier nivel de renta, y la segunda derivada igual a cero. Por lo tanto son bienes normales de lujo para cualquier renta. b) U(X, Y)=X2+4Y2+4XY Px=10 Py=20 Como Px/Py=1/2 estamos en el primer caso (X*, Y*) que cumple I=PxX+PyY Esdecir que como son sustitutivos, y me da igual uno que otro elijo gastar toda la renta en el más barato por tanto en este caso gastaré toda la renta en X. X*=I/10 Y*=0 Las curvas de Engel serán:

X

curva de Engel de X

Y

curva de Engel de Y

1 10 I I

c) U(X, Y)= min{(1/4)X,(3/2)Y}. Px=10 Py=20 Para hallar las curvas de Engel de los bienes X e Y tomamos las funciones de demanda X*e Y* del problema 1, y sustituimos los valores de precios que tenemos. Y*=I/(6Px+Py) ; Y*=I/80

X*=6I/(6Px+Py) ; X*=6I/80 Y Curva de Engel bien Y X Curva de Engel bien X

1 80 I

1 13.3 I

Como vemos ambas curvas son líneas rectas, y tenemos que dx*/dI=1/80; dy*/dI=6/80. Las primeras derivadas constantes para cualquier nivel de renta, y la segunda derivada igual a cero. Por lo tanto son...