Ejercicios Tema1

Tema 1
Las Funciones y sus Gráficas
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1
Halla dominio e imagen de las funciones

y

Solución:
Como
no está definido si
, es decir, si
El recorrido o imagen será elconjunto de todos los reales positivos incluído el cero.
La función
está definida tanto para los
como para los
, luego
. En
la porción
del dominio, la función se comporta como
y para los
, el valor de
espositivo y, por tanto, el recorrido de la función es
.
Estas conclusiones pueden visualizarse en las gráficas siguientes:

Ejercicio 2
¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de lasfunciones del ejercicio
anterior? ¿Presentan algún extremo local?
Solución:
La función
es creciente en todo su dominio, es decir, en
. El mínimo se
alcanza en el punto
y el máximo no se alcanza porquecrece indefinidamente. Puede
decirse también que está acotada inferior pero no superiormente.
La función
es decreciente en
y creciente en
. No tiene máximo, y el
mínimo coincide con el de la función
.Nota: En el Tema 4 se estudia la caracterización del crecimiento/decrecimiento de una función
Ejercicios T1 (1)

por el signo de su derivada. También se dan criterios para el estudio de los extremoslocales.
Ejercicio 3
Sabiendo que

, halla el dominio de la función

Solución:
Si

significa que

que es lo mismo,

por lo que deberá ser

ó, lo

. La primera parte de la desigualdad se verificasiempre que

y la segunda para cualquier valor de . Luego

Ejercicio 4
Observando la siguiente gráfica, que corresponde a la función
intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos.

, indica losSolución:
4
2

-2

-1

1

2

3

Crece en
Decrece en
Máximo local en el punto de coordenadas
Mínimo local en el punto de coordenadas

-2
-4
-6

Ejercicio 5
¿Presenta la función

algún extremo en

?Solución:
La función puede expresarse como
, con lo que si
tomará el mayor valor posible (en cualquier otro caso al 5 se le restaría una cantidad positiva).
Luego el punto (0, 5) es un máximo...