ejercicios tensiones principales

´
MECANICA DE MATERIALES – MEC 221
1)
Un elemento en estado de solicitaci´n plana soporta las tensiones indicadas en
o
la Figura. Hallar el valor de las tensiones que act´an sobre este elemento, si
u
◦ en sentido anti–horario.
el mismo se lo hace girar un ´ngulo de 30
a
Hallar las magnitudes de la tensi´n normal m´xima y m´
o
a
ınima que este estado
de tensiones determina y laorientaci´n para la cual se presentan estos valores
o
caracter´
ısticos.
Determinar tambi´n la magnitud de la tensi´n cortante m´xima asociado a
e
o
a
este estado de tensiones y la orientaci´n para la cual se presenta este valor
o
singular.
2)
Una placa rectangular de 4 mm de espesor est´ sometida a tensiones de traca
ci´n en sus aristas perifericas, cuyas resultantes se indican en laFigura. Calo
cular las componentes normal y paralela de la tensi´n interna en el plano de
o
la diagonal principal mostrada.

3)
El estado de tensiones en el punto cr´
ıtico de un cuerpo solicitado mediante
todo un sistema de fuerzas se muestra en la Figura, donde:
σx = −800
τxy = 1000

σy = 500

σz = 700

τxz = −600 τyz = 900

[Kg/cm2 ]

Determinar el valor de tensi´n normal m´ximaque act´a en este punto,
o
a
u
juntamente con su orientaci´n espacial. Tambi´n hallar la tensi´n cortante
o
e
o
m´xima, y la direcci´n espacial seg´n la cual ´sta act´a.
a
o
u
e
u

4) Al interior de un cuerpo cargado mediante un sistema de fuerzas determinado, en condici´n est´tica de
o
a
comportamiento, en un punto interno del mismo se sabe que una de las tensiones normalesactuantes es igual
a una de las tensiones principales; digamos, σy = σ1 = −600 Kg/cm2 . Adem´s se sabe que en el mismo punto,
a
las tensiones cortantes principales valen: τab = 500, τac = 350 y τbc = 850 Kg/cm2 . Con estos datos, determinar
el estado de tensiones original en el punto; es decir, hallar: σx , σz , τxy , τxz , τyz .
5)
El tensor de tensiones en un punto al interior de un elementode cierta m´quina,
a
con respecto a un sistema coordenado cartesiano rectangular, est´ dado por el
a
siguiente arreglo matricial:


500 100 0
[σ]x−y−z = 100 200 400 [Kg/cm]2
0 400 300
Determinar el estado de tensiones para un sistema coordenado x -y -z definido
por rotaci´n del eje x, a trav´s de un ´ngulo de 45◦ en sentido antihorario alrededor del eje z, como se muestra
o
e
aen la Figura. Determinar tambi´n a las tensiones cortantes principales, estableciendo para cada una de ellas las
e
direcciones espaciales seg´n estas act´an.
u
u
6)
Un tanque cil´
ındrico de 1,8 m de di´metro interior contiene un gas que
a
est´ a una presi´n de 8,2 Kg/cm2 por encima del valor de presi´n ama
o
o
biental atmosf´rica. El cuerpo del tanque est´ constru´ de superficies
e
aıdo
cil´
ındricas de aluminio que se sueldan circunferencialmente, siendo los
extremos del recipiente superficies de forma semiesf´rica, como se aprecia
e
2 , y la tensi´n normal permisible
en la Figura. Si la tensi´n normal admisible en la pared del tanque es 980 Kg/cm
o
o
perpendicular a la soldadura es de 820 Kg/cm2 ; determinar el espesor m´
ınimo requerido para: (a) la parte
cil´ındrica del recipiente, y (b) las superficies extremas o tapas de este tanque presurizado. Considere solamente
tensiones de membrana en el an´lisis asumiendo que el recipiente es de pared delgada.
a

7)
Construir el c´
ırculo de Mohr para un elemento en estado de solicitaci´n plana biaxial.
o
Suponiendo σx > σy > 0 (τxy = 0). (a) Obtener a partir del c´
ırculo de Mohr las
siguientesecuaciones de transformaci´n de tensiones:
o
σx =

σx + σy
σx − σy
−
cos 2φ
2
2

τx y = −

σx − σy
sin 2φ
2

(b) Demostrar que las tensiones normales principales son precisamente: σ1 = σx y
σ2 = σy . (c) Obtener las tensiones cortantes principales desde el c´
ırculo de Mohr e
ilustrarlas en un esquema de elemento orientado apropiadamente.
8)
Suponga el campo de tensiones...