Ejercicios Transformada Z

Problema 5.2
Dada la secuencia

1
2

𝑥(𝑛) = {1,2,4,3,2,1, }

, grafique las secuencias:

↑
1. 2𝑥(𝑛)
Se escala por 2 la secuencia 𝑥(𝑛)
Obteniendo como resultado la siguiente secuencia
2𝑥(𝑛) = {2,4, 8, 6,4,2,1}
↑

2. 𝑥(−𝑛)
Se aplica una inversión a dicha secuencia, obteniendo como resultado la siguiente secuencia
1
𝑥(−𝑛) = { , 1, 2, 3,4,2,1}
2
↑

3. 𝑥(−2 − 𝑛)
Primero realizamos una inversión de lasecuencia de 𝑥(𝑛) obteniendo
1
𝑥(−𝑛) = { , 1, 2, 3,4,2,1}
2
↑
Luego realizamos un desplazamiento de 2 hacia la derecha
1
𝑥(−2 − 𝑛) = { , 1, 2, 3,4,2,1}
2
↑

4. 𝑥(2 − 𝑛)
Nuevamente aplicamos una inversión de la secuencia dada
1
𝑥(−𝑛) = { , 1, 2, 3,4,2,1}
2
↑
Sin embargo ahora el desplazamiento será de 2 hacia la izquierda
1
𝑥(2 − 𝑛) = { , 1, 2, 3,4,2,1}
2
↑

5. 𝑥(−2 + 𝑛)
Aplicando a la secuenciadel enunciado un desplazamiento de 2 a la derecha obtenemos
1
𝑥(−2 + 𝑛) = {1,2,4,3,2,1, }
2
↑

6. 𝑥(2 + 𝑛)
Ahora el desplazamiento es de 2 hacia la izquierda
1
𝑥(2 + 𝑛) = {1,2,4,3,2,1, }
2
↑

Problema 5.3.
Si 𝑥(𝑛) = {1,2,3,4}, exprese las siguientes secuencias en términos de 𝑥(𝑛).
↑
La flecha indica el origen por lo tanto 𝑛 = 3 es el origen de la secuencia 𝑥(𝑛)
Y la transformada Z de estasecuencia sería
𝑋(𝑛) = 1𝑛2 + 2𝑛1 + 3𝑛0 + 4𝑛−1

1. {1,2,3,4,0,0}
↑
El origen de la secuencia es 𝑛 = 0
La transformada Z de esta secuencia es
𝑋(𝑛) = 1𝑛5 + 2𝑛4 + 3𝑛3 + 4𝑛2 + 0𝑛1 + 0𝑛0
𝑋(𝑛 + 3) = 1𝑛2 + 2𝑛1 + 3𝑛0 + 4𝑛−1 + 0𝑛−2 + 0𝑛−3
R/ 𝑋(𝑛 + 3)
2. {0,1,2,3,4}
↑
El origen de la secuencia es 𝑛 = 0
La transformada Z de esta secuencia es
𝑋(𝑛) = 0𝑛0 + 1𝑛1 + 2𝑛2 + 3𝑛3 + 4𝑛4
𝑋(𝑛 − 3) = 0𝑛3 + 1𝑛2 + 2𝑛1 + 3𝑛0 + 4𝑛−1R/ 𝑋(𝑛 − 3)
3.

{4,3,2,1}
↑

El origen de la secuencia es 𝑛 = 3
La transformada Z de esta secuencia es
𝑋(𝑛) = 4𝑛1 + 3𝑛0 + 2𝑛−1 + 1𝑛−2
𝑋(−𝑛) = 1𝑛2 + 2𝑛1 + 3𝑛0 + 4𝑛−1
R/ 𝑋(−𝑛)
4. {4,3,2,1}
↑
El origen de la secuencia es 𝑛 = 1
La transformada Z de esta secuencia es
𝑋(𝑛) = 4𝑛3 + 3𝑛2 + 2𝑛1 + 1𝑛0
𝑋(−𝑛 − 2) = 1𝑛0 + 2𝑛1 + 3𝑛0 + 4𝑛−1
R/ 𝑋(−𝑛 − 2)

Problema 5.4
Represente las siguientes secuencias entérminos de rampas 𝑢𝑟 (𝑛) y escalones unitarios 𝑢(𝑛)
1. 𝑥1 (𝑛) = {0,1,2,3,4,3,2,1,0}
2. 𝑥2 (𝑛) = {0,1,2,3,4,4,4,3,2,1,0}
3. 𝑥3 (𝑛) = {0,1,1,1,1,0,0}
4. 𝑥4 (𝑛) = {4,3,2,1, 0↑ , 1,2,3,4}
5. 𝑥5 (𝑛) = {−4, −3, −2, −1, 0↑ , 1,2,3,4}
Solución Problema 5.4 Hay varias maneras de expresar estas secuencias. Aquí se presenta solo una para
cada caso.
1.

𝑢𝑟 (𝑛) ∙ 𝑢(−𝑛 + 4) + 𝑢𝑟 (−𝑛 + 8) ∙ 𝑢(𝑛 − 5)
otra forma: [𝑢𝑟(𝑛) − 2𝑢𝑟 (𝑛 − 4)]𝑢(−𝑛 + 7)

2.

𝑢𝑟 (𝑛) ∙ 𝑢(−𝑛 + 3) + 4 ∙ 𝑢(𝑛 − 4) ∙ 𝑢(−𝑛 + 6) + 𝑢𝑟 (−𝑛 + 10) ∙ 𝑢(𝑛 − 7)
otra forma: 𝑢𝑟 (𝑛) − 𝑢𝑟 (𝑛 − 4) − 𝑢𝑟 (𝑛 − 6) + 𝑢𝑟 (𝑛 − 9)

3.

𝑢(𝑛 − 1) − 𝑢(𝑛 − 5)
4.

𝑢𝑟 (𝑛) ∙ 𝑢(−𝑛 + 4) + 𝑢𝑟 (−𝑛) ∙ 𝑢(𝑛 + 4)
otra forma: 𝑢(𝑛 + 4) ∙ 𝑢𝑟 (−𝑛) + 𝑢(−𝑛 + 4) ∙ 𝑢𝑟 (𝑛)

5.

𝑢𝑟 (𝑛) ∙ 𝑢(−𝑛 + 4) − 𝑢𝑟 (−𝑛) ∙ 𝑢(𝑛 + 4)
otra forma: −𝑢(𝑛 + 4) ∙ 𝑢𝑟 (−𝑛) + 𝑢(−𝑛 + 4)𝑢𝑟 (𝑛)
Problema 5. 5.
1.x(n) = sen(ωn) ∙ u(n)
Para el caso de que ω sea múltiplo de 2π, es decir ω =

2π
n

Para el caso de que ω no sea múltiplo de 2π, es decir ω ≠

2π
n

En ambos casos, serán señales alternas y por ser causal la señal, su ROC es el exterior de un círculo.
2. x(n) = u(n + 4) − u(n − 2) Señal finita bilateral.

ROC: todo el plano z menos cero e infinito

3. x(n) = u(−n − 2)

ROC: el interior de uncírculo

4. x(n) = ur (n) − 2 ∙ ur (n − 5) + ur (n − 10)

ROC: todo el plano z menos cero
1

5. x(n) = (− )−|n|
2

ROC: anillo

6. x(n) = ur (n + 5) ∙ u(−n − 5)

ROC: todo el plano z

5.6 Encuentre las regiones del plano z donde las siguientes series convergen:
1 𝑛+2

1. ∑∞
𝑛=−2 ( )
3

𝑧 −𝑛

∞

1 2 1 𝑛
∑ ( ) ( ) 𝑧 −𝑛
3
3

𝑛=−2

∞

1 2 1 𝑛
∑ ( ) ( )
3
3𝑧

𝑛=−2

Conociendo la propiedad de las seriessabemos que esta serie converge si la magnitud de la base de la
exponencial es menor que 1, entonces:
|

1
|<1
3𝑧

|𝑧| >
Por lo tanto la región de convergencia es: |𝑧| >

2. ∑∞
𝑛=0

1+(−1)𝑛
2

1
3

1
3

𝑧 −𝑛

Primero separamos la serie en dos para eliminar la suma
∞

∞

𝑛=0

𝑛=0

1
(−1)𝑛 −𝑛
∑ 𝑧 −𝑛 + ∑
𝑧
2
2

∞

∞

𝑛=0

𝑛=0

1
(−1𝑧 −1 )𝑛
∑ (𝑧 −1 )𝑛 + ∑
2
2

Conociendo la propiedad de las series...