Ejercicios_UT6

TEMA 4: ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS
Temario
Producto escalar. Espacio vectorial euclídeo
Norma euclídea
Expresión matricial de un producto escalar
Ortogonalidad en espacios vectoriales euclídeos
Sistemas ortogonales y sistemas ortonormales. Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt
Aproximación en espacios vectoriales euclídeos
Solución aproximada de un sistema de ecuaciones linealesEjercicios a resolver en clase:

Ejercicio 4.1.
Sean las siguientes aplicaciones:
(a)

(b)

|f1 : Ñ3  Ñ3  Ñ|
x  ( x1 , x2 , x3 ), y  ( y1 , y2 , y3 )  Ñ3 : f1 ( x , y )  x1 y1  2 x2 y2  x3 y3

|f 2 : P2  P2  Ñ|
p( x)  ax 2  bx  c, q ( x)  a ' x 2  b ' x  c '  P2 : f 2  p ( x), q( x)  aa ' bb ' cc '

(c) f3 : M

2 2

(Ñ)  M

2 2

(Ñ)  Ñ A, B  M

22

(Ñ) : f 3 ( A, B ) traza ( BT A)

(d)
|f 4 : Ñ 4  Ñ 4  Ñ|
x  ( x1 , x2 , x3 , x4 ), y  ( y1 , y2 , y3 , y4 )  Ñ 4 : f 4 ( x , y )  x1 y1  x2 ( y1  y2 )  ( x1  x3 )( y1  y2 )

(e)
|f 5 : P2  P2  Ñ|
p( x)  ax 2  bx  c, q ( x)  a ' x 2  b ' x  c '  P2 : f 2  p( x), q ( x)   p (1)q (1)  p(0)q (0)  p(1)q (1)

Indicar cuáles son productos escalares, razonando la respuesta que se dé. En casoafirmativo, obtener la expresión matricial en la base canónico del espacio vectorial
correspondiente.

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Ejercicio 4.2.

1.- Sea el espacio vectorial euclídeo usual en 3. Se pide:
a) Hallar la norma del vector x  (1, 2, -1) .
b) Calcular el ángulo formado por los vectores y  (1, 0,  1) y z  (-1, 1, 1) .
c) Determinar la distancia entrelos dos vectores del apartado anterior.
2.- Se pide lo mismo siendo el producto escalar en 3:
 x , y  x1 y1  2 x2 y2  x3 y3  x , y  3
a) Hallar la expresión general del producto escalar en la base canónica de 3.
Ejercicio 4.3.

Sea el espacio vectorial euclídeo ( P2 , <,>) siendo:
= a a’ + b b’ + c c’
el producto escalar usual de dichoespacio. Se pide:
a) Calcular el ángulo formado por los polinomios p1(x) = 1 y p2(x) = x + 1.
b) Calcular la norma del polinomio v(x) = x2 + 2 x – 1.
c) Calcular la distancia entre los polinomios: q1(x) =x2 + x + 1 y q2(x) = x2 – 1.
d) Hallar la expresión general del producto escalar en la base canónica de P2 .

Ejercicio 4.4.

a) Consideremos el espacio vectorial real 3 con el producto escalarusual. Hallar la
expresión matricial de dicho producto escalar respecto de la base
B ={(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}

b) Sea el  - espacio vectorial 3 dotado del producto escalar < , > definido por la matriz

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 2 1 0
de Gram G   1 2 0  respecto de la base B ={(1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1)}. Hallar la
0 0 1

expresión general de dicho producto escalar.
Ejercicio 4.5.

Sea el espacio vectorial euclídeo (4, <,>) con el producto escalar:
x , y  x1 y1  ( x1  x2 )( y1  y2 )  ( x1  x2  x3 )( y1  y2  y3 )

a) Hallar la expresión general del producto escalar en la base canónica de 4.
b) Hallar una base ortogonal B.
c) Hallar una base ortonormal B’.

Ejercicio 4.6.

Sea el subespacio vectorial S = {A3x3() / AT = - A} contenido en el espacio

euclídeo (3x3(), <,>) donde el producto escalar dado es el usual, es decir: =
Traza(BT.A). Se pide:
(a) Hallar la expresión general del producto escalar en la base canónica de 3x3().
(b) Hallar una base ortogonal B y una base ortonormal B’ de S.
 1 2 3
(c) Hallar la mejor aproximación de B   4 5 6  en S.
7 8 9



(d) Calcula la norma delerror cometido.

Ejercicio 4.7.

a) Encontrar la mejor aproximación  de v = (1, 1, 1, 1)

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4 en el subespacio:

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S = {(x1, x2, x3, x4) / x1 - x4 = 0

x2 – x4 = x3}

b) Encontrar la mejor aproximación  de v = (0, 1/2, 1, 1)
SL

u

1

4 en el subespacio:

 (1, 0,1,1), u2  (1,1,1,1) 

c) ¿Cuál es la combinación lineal de...

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