ejercicios vectorial

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN DE CÁLCULO VECTORIAL
Sangolquí, 18 de junio de 2014

A) Resolver los siguientes ejercicios:
Demostrar que la función z=x.ey+y.ex es solución de la ecuacióndiferencial:
∂3z∂x3+∂3z∂x3=x∂3z∂x∂y2+y∂3z∂x2∂y∂z∂x=ey+yex∂2z∂x2=yex∂3z∂x3=yex∂z∂y=xey+ex∂2z∂y2=xey∂3z∂y3=xey∂3z∂x∂y2=ey∂2z∂x∂y=ey+ex∂3z∂x2∂y=exReemplazando en la ecuación diferencial:yex+xey=xey+yexl.q.q.dHallar las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la superficie en el punto dado.
x2+2y2+3z2=21 en 4, -1,1Fx,y,z=x2+2y2+3z2-21=0∂F∂x=2x∂F∂y=4y∂F∂z=6z∂F∂x/P=8∂F∂y/P=-4∂F∂z/P=6Recta Normal: x-48=y+1-4=z-16Plano Tangente: 8x-4-4y+1+6z-1=04x-2y+3z=21B) Investigar qué es la matriz Hessiana, su fundamentación en la matriz definida posistiva/negativa y su aplicación al cálculo de valoresextremos de funciones multivariables, incluir 5 ejemplos debidamente resueltos y explicados.




Ejemplos
Encontrar los máximos y mínimos (si los hay) de la función:
f(x,y,z) = x² + y² + 7z² -xySolución:
Calculando las primeras derivadas parciales de la función con respecto a cada una de las variables que tiene la función original:

Igualando a cero las primeras derivadas:
22x – y = 0
2y –x = 0
14z = 0
Simultanear las ecuaciones anteriores para encontrar los valores de x, y y z, que serán las coordenadas de los puntos críticos:
Al simultanear las ecuaciones obtenemos que losvalores de x, y y z (osea los puntos críticos) son:
x = 1/3
y = 2/3
z = 0
Esto significa que las coordenadas del punto crítico son: f(1/3,2/3,0).
Calcular las segundas derivadas en el punto críticopara generar la matriz hessiana:

Resolver la matriz hessiana tal como se resuelve la determinante de una matriz cuadrada:


H(x,y,z) = -6
Sacar conclusiones de la respuesta obtenida:
Ladeterminante de la matriz hessiana H(x) o de 1x1 da como resultado – 2 (resultado negativo).
La determinante de la matriz hessiana H(x,y) o de 2x2 da como resultado 3 (resultado...