Ejercicios R

APUNTES DE MATEMÁTICAS I

MARCEL SAINTARD VERA PRIMER SEMESTRE 2012

Para Curso MATEMÁTICAS I TTC- USACH

Material N°3-C

1.3.- Escalonamiento de Matrices: Podríamos haber incluido este tema dentro de las matrices especiales. Pero, resultará tan versátil la aplicabilidad tanto de las matrices de formas escalonadas como del proceso para obtener estas formas matriciales que hemos preferidodestacarlas como tema autónomo por su relevancia. Además, resulta oportuno y necesario abordar el tema en este momento por cuanto usaremos del escalonamiento en todo lo que resta de la Unidad e incluso en las siguientes se convertirá en un frecuente recurso de resolución y análisis.

1.3.1.- Matrices de Forma Escalonada por Filas: Se define una matriz escalonada por filas, de orden m x n , comoaquella matriz en que: 1º.2º.Definicion: Sea A = (aij)∈IMm×n. Si al elemento apq ≠ 0 tal que apk = 0, ∀ k < q le llamamos distinguido de la p-ésima fila Fp, diremos que A es de forma escalonada por filas si y sólo si [∀apq, ars distinguidos de Fp y Fr: si p < r entonces q < s, y cuando Ft es fila nula ocurre que p < r < t]. 0 0  0  0 3 0 0 0 0 0 0 0 4 −1 0 3 1  3 − 1 0 0 4 7  0 0 5 1 − 1  y 0 0 0 0 4 3  0 0 0 3 1    0 0 0 0 0 3  0 0 0 0 0 −1 0 0 0 4 0 −1 0 7 0 5 −1 2 1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 3 3 − 1  1  y0 0 0   1 0 4 0 0 0 7 3 2 0 0 0 1 1 − 1 4  1 − 1 0  0 0 4 Al bajar de fila en fila se observa que el primer elemento no nulo, o elemento distinguido, se encuentra en columnas posteriores para cada fila. Las filas nulas son posteriores a las no nulas.Ejemplos: a) Son escalonadas :

0 0 b) No son escalonadas :  0  0 Observación:

Note que, desde un punto de vista práctico, en toda matriz de forma escalonada por filas ocurre que antes y bajo cada elemento distinguido (primer no nulo en su fila) sólo se encuentran ceros. Pero, ¡ cuidado ! ésta no es condición suficiente para tener forma escalonada.

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APUNTES DE MATEMÁTICAS IMARCEL SAINTARD VERA PRIMER SEMESTRE 2012

Para Curso MATEMÁTICAS I TTC- USACH

Material N°3-C

1.3.2.- Matrices de Forma Escalonada Reducida por Filas: Vamos a llamar matriz escalonada reducida por filas, a toda matriz escalonada por filas en que: 1º.- Todo elemento distinguido es 1(uno). 2º.- Antes, bajo y sobre cada elemento distinguido sólo hay ceros. 0 0 a)  0  0 1 0 0 0 0 1 0 0 43 0 0 0 0 1 0 0 0  0  1

de forma

Ejemplos:

b) In

1.3.3.- Proceso de Escalonamiento y Operaciones Elementales: A partir de una matriz A= (aij) ∈ IMm×n cualquiera, se puede construir una matriz de forma escalonada (reducida o no) por filas, recurriendo a tres operaciones entre filas, o de filas, que llamaremos operaciones elementales por filas y que son: O.E. Nº1: Indica elintercambio entre i-ésima y j-ésima filas de la matriz A. Se anotará Fij . O.E. Nº2: Indica la amplificación o ponderación de la i-ésima fila de la matriz A por un escalar α∈IK no nulo. Se anotará αFi , con α ≠ 0. O.E. Nº3: Indica que a la i-ésima fila de A se le suma la j-ésima fila de A ponderada por un escalar α∈IK. Se le anotará Fi + αFj . Note que sólo la i-ésima fila cambia. Convendremos en anotarsiempre primero a la fila que cambia. 7 2 1 − 1 4  2 1 −1 0 1   .Apliquemos operaciones elementales por filas Sea A =  4 2 − 2 1 − 1    3 − 1 0 2 − 3 a la matriz A, para reducirla a forma escalonada.  1 − 4 − 7 − 2 − 1 0 9 13 4 3   0 0 0 1 − 3   0 0 11 21 8

Ejemplo:

− F1 7 2 1 − 1 4  2  F + 2F 1 −1 0 1  2 1 Respuesta: A =  4  F3 − 2 F2 2 −2 1 −1    3 − 1 02 − 3 F4 + 3 F1 Pasos sugeridos: 1.-

Escoja un distinguido en primera columna . Si no es de la 1ª fila, llévelo a ella usando O.E. Nº1. Luego, operando con esta fila, anule a los elementos no nulos que estén bajo él. Repita el proceso avanzando por las columnas, ubicando el distinguido en filas siguientes y anulando los elementos que estén bajo él hasta agotar las columnas.
2

2.-...