Ejercicios

Solución de desigualdades (inecuaciones)
Obtener y representar en la Recta Real el conjunto de soluciones de las desigualdades siguientes:
Ejemplo 1. 5x2 − 16x + 9 < x2 − 4x
La desigualdad es equivalente a:
4x2 − 12x + 9 < 0
(2x – 3)2 < 0; Como no existen valores de (2x – 3)2 que sean menores que cero (negativos), el conjunto de soluciones no existe.

Ejemplo 2. −9x2 − 6x − 5 ≤7x2 + 2x − 4
La desigualdad es equivalente a:
− 16x2 − 8x − 1 ≤ 0
16x2 + 8x + 1 ≥ 0
(4x +1)2 ≥ 0 Ya que (4x +1)2 no negativo para todos los valores de x, el conjunto soluciones es el conjunto R de todos los números reales.

Ejemplo 3. x2 − 2x < 8
La desigualdad es equivalente a:
x2 − 2x − 8 < 0
(x – 4) (x + 2) < 0
Al factorizar la desigualdad, se observa que lasraíces de x2 − 2x − 8 = 0, son −2 y 4, éstos son los valores críticos de la desigualdad. En la recta Real se localizan estos números que dividen a la recta en los siguientes intervalos: (-∞,−2), (−2, 4) y (4, +∞), en todos ellos el signo de (x – 4) (x + 2) es constante. Para determinar el signo en un intervalo seleccionamos un número de prueba arbitrario dentro del intervalo y se calcula el signode cada uno de los factores (x – 4) (x + 2) con este número de prueba. Seleccionamos –3 en (-∞,−2), 0 en (−2, 4) y 5 en (4, +∞). En la tabla se concentran los resultados.

|Intervalo |Núm. de prueba (k) |Signo de (x + 2) en (k) |Signo de (x – 4) en (k) |Signo de |
| | | ||(x + 2) (x – 4) en (k) |
|(-∞,−2) |−3 |− |− |+ |
|(−2, 4) |0 |+ |− |− |
|(4, +∞) |5 |+ |+|+ |

Con los datos de la tabla, se determina que el conjunto de soluciones de la desigualdad es el intervalo (−2, 4).

Ejemplo 4. x2 − x ≥ 20
La desigualdad es equivalente a:
x2 − x − 20 ≥ 0
(x – 5) (x + 4) ≥ 0
Los valores críticos son 5 y –4, obteniéndose los intervalos (-∞, −4), (−4, 5) y (5, +∞), enseguida se determina el signo de (x –5) (x + 4) en cada intervalo, seleccionando un valor de prueba adecuado. En la tabla se muestran los resultados.

|Intervalo |Núm. de prueba (k) |Signo de (x − 5), en (k) |Signo de (x + 4) en (k) |Signo de |
| | | | |(x – 5) (x + 4) en (k) |
|(-∞,−4)|−6 |− |− |+ |
|(−4, 5) |0 |− |+ |− |
|(5, +∞) |7 |+ |+ |+ |

Alefectuar un análisis de los datos de la tabla observamos que (x – 5) (x + 4) > 0 si x se encuentra en los intervalos (-∞, −4) y (5, +∞), además los valores críticos –4 y 5 también forman parte de la solución. Así que el conjunto de soluciones de la desigualdad es la unión de los intervalos (-∞, −4] U [5, +∞).

Ejemplo 5. (x − 1)(2x2 + 7x + 3) > 0
La desigualdad equivale a:
(x − 1)(2x +1)(x + 3) > 0
Los valores críticos son 1, −1/2 y −3.
Estos números determinan los intervalos (-∞, −3), (−3,-1/2), (−1/2, 1) y (1, +∞). A continuación se determina el signo de (x − 1)(2x + 1)(x + 3) en cada intervalo, seleccionando un valor de prueba adecuado. En la tabla se muestran los resultados.

|Intervalo |Núm. de prueba (k)|Signo de |Signo de |Signo...