Ejercicios

´ Complementos de Analisis II ´ tica) (Matema

Segundo Cuatrimestre de 2002

Ejercicios Adicionales
(Pr´ctica 4) a
3

Ejercicio 1. Decidir si la integral
0

x2 d( x − x3 ) existe y en casoafirmativo calcularla,

siendo x := min {n ∈ Z / n ≥ x}. Justificar. 0 si x ∈ Q / . Hallar todos los integradores α : [0, 1] → R tales que 1 si x ∈ Q

Ejercicio 2. Sea f (x) =
1

f dα exista.Justificar.
0

b

Ejercicio 3. Se sabe que f es una funci´n continua y que la integral o y sea β : [a, b] → R tal que β(x) = α(x) si x = c.
b b b a

f dα existe. Sea c ∈ (a, b)

Demostrar quea

f dβ existe y que vale
a

f dβ =
a

f dα.

Ejercicio 4. Se tienen las funciones siguientes definidas en el intervalo [0, 2]: f (x) = |x − 1|
2

α(x) =

5 ex

si x = 0 si x ∈ (0, 2]Demostrar que f ∈ R(α) y hallar el valor de
0

f dα.

Ejercicio 5. Sean f, α : [a, b] → R tales que f es continua y α es mon´tona creciente. A partir o
b

de f y α se define una nuevafunci´n G : R → R de la manera siguiente: G(t) = (f − t) dα. o
a

i) Demostrar que G est´ bien definida y que existe t0 ∈ R tal que G(t0 ) = 0. a
b

ii) Demostrar que existe alg´n c ∈ [a, b] tal que ua

f dα = f (c) α(b) − α(a) .

iii) Suponiendo que α es adem´s derivable en (a, b) (pero no necesariamente de clase C 1 ), a demostrar que la funci´n o
x

ψ(x) :=
a

f dα

es derivable en(a, b) y que vale ψ (x) = f (x)α (x) para todo x ∈ (a, b). 1

Ejercicio 6. Sean f, α : [0, +∞) → R funciones que cumplen las condiciones: • f es continua y lim f (x) existe y es finito.
x→+∞

• αes Lipschitz. Se pide entonces:
x

i) Demostrar que para cada x ∈ R>0 existe la integral de Riemann-Stieltjes
0

f dα.

o ii) Demostrar que f es una funci´n acotada.
x

iii) Si se defineuna nueva funci´n ψ : [0, +∞) → R de la manera siguiente: ψ(x) = o demostrar que ψ es Lipschitz.
0

f dα,

Ejercicio 7. Sea f : [0, 1] → R definida como f (x) = funci´n de variaci´n acotada....