Ejercicios

Universidad de Chile Facultad de Ciencias Departamento de Matem´ticas a

Algebra y Geometr´ II ıa
Gu´ n◦ 7 Primer Semestre 2011 ıa
1. Calcule el determinante de las siguientes matrices: 1 7 1 A = 2 3 2 , 5 1 4 2.   2  55 B=  2 21   0 0 0 8 0 0   3 −1 0  5 33 −1 1  1 C=  4 0  0 1 2 2  2 −1 2 1  . 1 4  1 4

a) Sea Bn = Cn −An el conjunto de las permutaciones impares.Muestre que φ(ij) : An → Bn tal que σ −→ σ(ij) es una biyecci´n y calcule sgn(σ ◦ (ij)). o b) Demuestre que: Aσ◦(ij) = Aσ . c) Muestre que sgn(σ)Aσ =
σ∈Bn σ∈An

sgn(σ ◦ (ij))Aσ◦(ij) .

d ) Use loanterior para concluir que si A ∈ Mn×n (I tal que existen i = j entre 1 y n con R) A(i, k) = A(j, k)∀k = 1, . . . , n, entonces det(A) = 0 (Observe que lo anterior dice que si una matriz tiene dos filasiguales entonces su determinante es cero.) En lo que sigue asumiremos que det(AB) = det(A) det(B) (La demostraci´n se realizar´ en o a clases, si es posible). 3. Sea A ∈ Mn×n (I Mustre que si A esinvertible entonces det(A) = 0 y det(A−1 ) = R)
1 . det(A)

4. Calcule el determinante de las matrices Pi,j , Pλj y Pi+µj . ¿Qu´ puede decir del determinante e de las matrices Mi,j , Mλj y Mi+µj ent´rminos del determinante de M ? e 5. Use lo hecho en el ejercicio anterior para calcular los siguientes determinantes:  1 0 6 A =  3 4 15  5 6 21   1 a b+c B = 1 b c+a  1 c a+b   a2 a 1 C =  b2b 1  . c2 c 1 

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Definici´n 1. Sea A ∈ Mn×n (I se define (i, j)-´sima submatriz de A denotada por Si,j (A) o R), e de la siguiente manera:  si k < i, l < j,  A(k, l),   A(k + 1, l), si k ≥i, l < j, Si,j (A)(k, l) = si k < i, l ≥ j,  A(k, l + 1),   A(k + 1, l + 1), si k ≥ i, l ≥ j. Observaci´n: Si.j (A) es la matriz que se obtiene de borrar la fila i y la columna j en la o metriz A.6. Para las matrices del ejercicio 1 encuentre: S1,1 (A), S2,3 (A), S2,1 (A), det(S1,4 (B)) y det(S4,1 (B)).  2 3 1 7. Sea A =  1 2 3  3 1 2 i) Calcule det A ii) Sean Si,j (B) las matrices de...