Ejercicios

INTEGRALES DE LA GUIA DE CATEDRA ANALISIS II.
INTRODUCCION EN EL SÌMBOLO DE LA DIFERENCIAL Y ARTIFICIOS MATEMÀTICOS:


1) I=2x1+4xdx = 2x1+2x2dx = 1ln211+2x2 d(2x)= 1ln2 arctg2x+C
d2x = ln(2)2x dx → d(2x)ln2 = 2x dx

2) I=1x2+x+1dx =134432x+122+1 dx= 4312x+132+1dx= 433212x+132+1d2x+13
I=233arctg2x+13+C . completaciòn de cuadrados : x2+x+1= x2+x+1+122-122
Quedaria asì: x2+x+122-122+1= x+122-14+1= 2x+122+34= 34432x+122+1

3)1x(1-lnx)2dx ∴d1-lnx=-1 xdx ∴-d(1-lnx)=1xdx ∴-11-lnx2d1-lnx
dx3-1=3x2 dx dx3-13=x2dx |
I=-1-lnx-2d(1-lnx)=-1-lnx-2+1-2+1+C = 1(1-lnx)+C

4)1x(x3-1)dx= 1+x3-x3x(x3-1)dx =1-x3x(x3-1)dx+x3x(x3-1)dx

I=-x3-1x(x3-1)dx+x2x3-1dx=-1xdx+13dx3-1x3-1 =-lnx+13 lnx3-1+C

d1-x2=-2xdx-d1-x22=xdx |

5) I=x31-x2dx=x3+x-x1-x2dx=x3-x1-x2dx+x1-x2dx
I=-x(1-x2)(1-x2)12dx+x(1-x2)12dx=-x(1-x2)12dx+x(1-x2)12dx
I=121-x212d(1-x2)-121-x2-12d(1-x2)
I=12(1-x2)3232-12(1-x2)1212+C=13(1-x2)32-(1-x2)12+C
dx+4=dx |

6) I=1x2+4xdx =1x(x+4)dx=144x(x+4)dx=144+x-xx(x+4)dxI=14x+4x(x+4)dx-14xx(x+4)dx=141xdx-14d(x+4)x+4=14lnx-14ln(x+4)+C

lnw-lnz=lnwz∴ 14lnx-ln(x+4)=14xx+4∴I= 14xx+4+C

7)x-1x2+x+1dx=122x-2x2+x+1dx=122x-2+3-3x2+x+1dx=122x+1x2+x+1dx-123x2+x+1dx

dx2+x+1=2x+1 ∴12dx2+x+1x2+x+1-32dxx2+x+1= ln(x2+x+1)+C1+I2

I2= 32 3x2+x+1dx→esta integral ya fue resuelta es la (1).. 32 233arctg2x+13+C2

I=ln(x2+x+1+3arctg2x+13+C

CAMBIO DE VARIABLE:
Primerpaso: identificar el cambio
Segundo paso: derivar ambos miembros
Tercer paso: sustituir y resolver la integral
Cuarto paso: devolver el cambio (es el paso más importante)

8) I=1x 1+xdx ∴ cv→ w2=x ∴ 2wdw=dx ∴ 2ww21+w2dw=2dw1+w2

I=2arctgw+C ∴ dcv → I=2arctgx +C

9) I=1x1+x dx →se resolvera en dos cambios de variables siguiendo los 4 pasos

cv1→ w2=x∴ 2wdw=dx ∴2ww21+w2 dw∴211+w dw.
cv2→t2=1+w ∴ 2tdt=dw ∴ 22tt2dt=4dt=4t+C
dcv1→ t= 1+w ∴ I= 41+w+C
dcv2→ w= x ∴ I=41x+C

cv=cambio de variable dvc=devoluciòn del cambio devariable

INTRODUCCIÒN AL SIMBOLO DEL DIFERENCIAL:

La introducción al símbolo del diferencial y cambio de variable se utiliza con el mismo objetivo, el cual consiste en trasformar la variable de la integral en la misma variable del integrando de manera que la integral se transforme en inmediata.
En el caso que se haga una introducción al símbolo del diferencial y sobren elementosque impiden que la integral se trasforme en inmediata entonces se utiliza cambio de variable.
En un integrando si el método de resolución es C.V o introducción al símbolo del diferencial se debe buscar la derivada en los siguientes sitios:

-En los exponentes de los exponenciales. -En los argumentos logarítmicos.
-En los argumentostrigonométricos. -En los su radicales.
–En todas partes que se sospeche que exista una compuesta.

OPERACIONES ELEMENTALES PARA FACILITAR EL CAMINO EN LA RESOLUCIÒN DE LA S INTEGRALES.

Desarrollo de operaciones que involucren productos notables:
I=(x2+1)2dx=(x4+2x2+1)dx=x4dx+2x2dx+dx= x55+2x33+x+C
Distribución:I=(x-1)x+3dx=x-1x+3=x32dx+3x12dx-xdx-3dx

I=x32+132+1+3x12+112+1-x1+11+1-3x+C= x5252+ 3x3232+x22-3x+C=25x52+23x32+x22-3x+C
Sumar y restar términos al numerador:
I=x2x2+1dx=x2+1-1x2+1dx=x2+1x2+1dx-1x2+1dx=dx-1x2+1dx=x-arctgx+C
División de polinomios:
I=x2x2+1dx→P(x)Q(x)=Cx+R(x)Q(x)∴ 1-1x2+1dx=dx-1x2+1dx=x-arctgx+C
Uso de identidades trigonométricas:
tg2xdx=sec2x-1dx=sec2xdx-dx=tgx-x+C
Uso de la conjugada:...