Ejercicios

Tarea Recuperativa
Catedra: Ayudantía de Matemática I

Compruebe con tabla de verdad si es que es tautología:
1- ( p ∧ q ) ∧ r ↔ p ∧ ( q ∧ r )
P | Q | R | p ∧ q | ( p ∧ q ) ∧ r A | ( q ∧ r ) | p ∧ ( q ∧ r ) B | A ↔ B |
V | V | V | V | V | V | V | V |
V | V | F | V | F | F | F | V |
V | F | V | F | F | F | F | V |
V | F | F | F | F | F | F | V |
F | V | V | F | F | V | F | V |F | V | F | F | F | F | F | V |
F | F | V | F | F | F | F | V |
F | F | F | F | F | F | F | V |
Es tautología.

2- p ∨ ( q ∧ r ) ↔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )
P | Q | R | ( q ∧ r ) | p ∨ ( q ∧ r ) A | ( p ∨ q) | ( p ∨ r ) | ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) B | A ↔B |
V | V | V | V | V | V | V | V | V |
V | V | F | F | V | V | V | V | V |
V | F | V | F | V | V | V | V | V |
V | F | F | F | V| V | V | V | V |
F | V | V | V | V | V | V | V | V |
F | V | F | F | F | V | F | F | V |
F | F | V | F | F | F | V | F | V |
F | F | F | F | F | F | F | F | V |
Es tautología.

3- Usar leyes de lógica proporcional para demostrar, especificar la ley:
(pq) ↔ q = p v q
(¬p v q) ↔ q definición de implicancia.
[(¬p v q) q] ∧ [q (¬p v q)] definición de implicancia
[¬(¬p vq) v q ] ∧ [¬q v (¬pv q)] definición de implicancia
[(p ∧ ¬q) v q ] ∧ [¬q v (¬pv q)] Morgan
[(q v p) ∧ (q v¬q) ∧ [(¬q v q) v ¬p] distributiva / conmutativa / asociativa
[(q v p) ∧ V ] ∧ [ V v ¬p] complemento
(q v p) ∧ V complemento
(q v p) conmutativa
p v q

4-
[(p ∧ ¬q) q ) ↔ (p q ) = V
¬ (p ∧ ¬q) v q ] ↔ (¬p v q) definición de implicancia
[(¬p v q) v q] ↔ (¬p v q) Morgan
[¬p v q ] ↔ (¬p v q ) asociativa / idempotencia
(¬p v q ) (¬p v q ) ∧ (¬p v q ) (¬p v q ) definición de implicancia
(¬p v q ) (¬p v q ) idempotencia
¬(¬p v q ) v (¬p v q ) definición de implicancia
V complemento
5- Se aplicó una encuesta a 110 estudiantes, al final del primer semestre del año acerca de sus preferencias por lugares de comida rápida:Telepizza (T), doggi´s (D) y el quiosco de doña Loreto en el patio de la escuela (L).
Los resultados fueron los siguientes:
1- A 30 les gusta Telepizza pero Doggi´s
2- A 21 solo les gusta Telepizza.
3- A 63 les gusta Telepizza.
4- A 58 les gusta Doggi´s.
5- A 27 les gusta el quiosco de Doña Loreto.
6- A 27 les gusta Doggi´s y Telepizza pero no el quiosco de doñaLoreto.
7- A 18 les gusta Doggi´s y el quiosco de Doña Loreto.

Dibuje un diagrama de Venn que represente este estudio y etiquete todas las áreas .Utilice este diagrama para responder las siguientes preguntas:
A) ¿A cuántos les gusta Doggi´s pero no el quiosco de Doña Loreto?
B) ¿A cuántos les gusta los tres?
C) ¿A cuántos solo les gusta el quiosco de Doña Loreto?
__
T: { X existe U, Xprefieren Telepizza}
D: { X existe U, X prefieren Doggis}
L : { X existe U, X prefieren Kiosko}
T= 21 solo D ∩ T – L = 27
T =63 D ∩ L = 18
D =58 T – D = 30
L = 27
U =22
A) 27 + 13 = 40
B) 6
C) 0
6- En una encuesta en la Región Metropolitana se consulta a 1000 personas y se obtienes que:
990 personas hablan castellano
626 personas hablan ingles
134 personas hablanfrancés
620 personas hablan castellano e ingles
130 personas hablan castellano y francés
100 personas hablan los tres idiomas

a) Haga un diagrama de Venn que refleje la situación
b) ¿Cuántas personas hablan solo castellano?
c) ¿Cuántas solo ingles?
d) ¿Cuánto solos francés?
e) ¿Cuántas hablan ingles y no hablan francés?
f) ¿Cuántas hablan ingles o francés?
__
U= 200
C={X existe U; hablan castellano}
I= {X existe U; hablan inglés}
F={X existe U; hablan francés}
C= 990 C∩I= 620
I= 626 C∩F=130
F= 134 C∩I∩F=100

C∪I∪F= n(c) + n(I) + n(F) – n(c ∩ I) –n(C∩F) – n(I∩F) + n(C∩ I∩ F)
1000 = 990 + 626 + 134 – 620 – 130 – X + 100
1000 = 1100 – X
X = 1100 – 1000
X = 100 / n(I∩F) =100

B) 340 ,...