Ejercicios

Ejercicios Resueltos del Tema 2
Ejercicio 1
Se ha pasado un test de 80 preguntas a 600 personas. El número de respuestas correctas se refleja en la siguiente tabla: RESPUESTAS CORRECTAS [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) NÚMERO DE PERSONAS 40 60 75 90 105 85 80 65

a) Calcular la media, desviación media y desviación típica. b) Calcula la mediana, loscuartiles y los percentiles 20 y 85. c) ¿Cuál es el percentil de una persona que tiene 65 respuestas correctas? Solución: Hacemos las tablas de frecuencias: INTERVALO [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) xi ni Ni xi·ni xi2·ni
x i − x ⋅ ni
1506,67 1660,00 1325,00 690,00 245,00 1048,33 1786,67 2101,67 10363,33

5 40 40 200 1000 15 60 100 900 13500 25 75 175 1875 4687535 90 265 3150 110250 45 105 370 4725 212625 55 85 455 4675 257125 65 80 535 5200 338000 75 65 600 4875 365625 600 25600 1345000

a) x =

25600 = 42,67 600 1345000 σ2 = − 42,67 2 = 420,94 ⇒ σ = 420,94 = 20,52 600 10363,33 DM = = 17,27 600

b)
•

Para la mediana

•

Para Q1

600/2 = 300, luego voy al intervalo [40,50) 300 − 265 Me = 40 + ⋅ 10 = 40 + 3,33 = 43,33 370 − 265 600/4 =150, luego voy al intervalo [20, 30)

•

Para Q3

•

Para P20

•

Para P85

150 − 100 ⋅ 10 = 20 + 6,66 = 26,66 175 − 100 (3/4)·600 = 450, luego voy al intervalo [50, 60) 450 − 370 Q3 = 50 + ⋅ 10 = 50 + 9,41 = 59,41 455 − 370 (20/100)·600= 120, luego voy al intervalo [20, 30) 120 − 100 P20 = 20 + ⋅ 10 = 20 + 2,66 = 22,66 175 − 100 (85/100)·600= 510, luego voy al intervalo [60, 70) 510− 455 P85 = 60 + ⋅ 10 = 60 + 8,88 = 68,88 535 − 455 Q1 = 20 +

c) 65 = 60 +

d − 455 k ⋅10 ⇒ d = 495 ⇒ luego 495 = ⋅ 600 ⇒ k = 82,5 535 − 455 100

Ejercicio 2
a) Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística, donde n, N y f representan, respectivamente, la frecuencia absoluta, acumulada y relativa:
x n N f 1 4 0,08 2 4 3 16 0,16 4 7 0,14 5 5 28 6 38 7 7 45 8 b) Calcula lamedia, mediana y moda de esta distribución Solución a) La frecuencia relativa de 1 es 0,08 = 4/N, de donde N = 50, lo que nos permite completar la tabla. x n N f 1 4 4 0,08 2 4 8 0,08 3 8 16 0,16 4 7 23 0,14 5 5 28 0,10 6 10 38 0,20 7 7 45 0,14 8 5 50 0,10 b) la media x = 4,76 ; la mediana es 5 y la moda es 6.

Ejercicio 3 (Resuelto por proporcionalidad en vez de formulas)
En una gasolineraestudian el número de vehículos que repostan a lo largo de un día, obteniendo:
HORAS

[0, 4) 6

[4, 8) 14

[8, 12) 110

[12, 16) 120

[16, 20) 150

[20, 24) 25

Nº DE VEHÍCULOS

Calcula Me y Q3.
Solución:

Construimos el polígono de frecuencias acumuladas:
EXTREMOS

Fi 0 6 20 130 250 400 425

en % 0 1,41 4,71 30,59 58,82 94,12 100

0 4 8 12 16 20 24

Gráficamente:Aunque no se pide vemos gráficamente que
Me ≈ 14,8; Q 3 ≈ 17,8

Obtengamos los valores exactos, razonando sobre el polígono de frecuencias: (Lo hacemos aplicando proporcionalidad en el triangulo formado con el polígono de frecuencias) Me: Q3:

28,23 19,41 = 4 x x = 2,75 Me = 12 + 2,75 = 14,75

35,3 16,18 = 4 x x =1 ,83 Q3 = 16 + 1,83 = 17,83

Los valores exactos son: Me = 14,75; Q3 = 17,83Ejercicio 4
Observados los alquileres de un conjunto de despachos se ha obtenido: Alquileres en miles de ni pesetas [0,15) 17 [15,30) 130 [30,45) 180 [45,60) 30 [60,75) 10 [75,90) 5 Calcula la moda y la mediana.
Solución: Como los datos son agrupados tenemos: • para la moda la fórmula:

Mo = li −1 + 30 +
•

ni − ni −1 ⋅ ai = (ni − ni −1 ) + (ni − ni +1) )

180 − 130 50 ⋅ (45 − 30 ) =30 + ⋅15 = 33,75 (180 − 30) + (180 − 130) 200

Para la mediana usamos el polígono acumulativo de frecuencias:
xi ni Ni

[0,15) [15,30) [30,45)

17 130 180

17 147 327

[45,60) [60,75) [75,90)

30 10 5

357 367 372

n −N n −N i −1 2 (li − li−1 ) = li−1 + 2 i−1 ⋅ ai = Me = li −1 + ni N i − N i −1 30 + 186 − 147 ⋅ 15 = 33,25 327 − 147

Ejercicio 5
Compara las desviaciones...