ejercicios

Cap´ıtulo 7
Razones de cambio relacionadas
1

7.1

Razones de cambio relacionadas

Al definir la derivada de una funci´on y = f (x) en un punto fijo x0, se mencion´o que
f (x0 + h) − f (x0)
f (x) − f (x0 )
∆y
= l´ım
= l´ım
x→x0
h→0
∆x→0 ∆x
h
x − x0

f (x0 ) = l´ım

donde ∆y = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + h) − f (x0 ) & ∆x = x − x0 = h son los incrementos de las variables
y &x, respectivamente.
Refiri´endonos a estos incrementos podemos decir que:
• El incremento ∆y = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + h) − f (x0 ), nos muestra el cambio que ha tenido la
variable y
• El incremento ∆x = x − x0 = h, nos muestra el cambio que ha tenido la variable x.
De esto se desprende que el cociente
∆y
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0)
=
=
∆x
x − x0
h
es una raz´on de cambioque nos muestra el cambio que ha tenido la variable y, cuando la variable x
ha tenido un cambio ∆x.
Es decir es una raz´on que compara el cambio de la variable y, con respecto al cambio de la variable
x.
O sea que, es una raz´on que mide el cambio promedio de la variable y, a lo largo del intervalo limitado
por x0 & x0 + ∆x.
• Esto es, es la raz´on de cambio promedio de la funci´on y = f (x)con respecto a x, a lo largo del
intervalo con extremos x0 & x0 + ∆x.
1

canek.azc.uam.mx: 5/ 4/ 2006

1

CAP´ITULO 7.

7.1. RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS

∆y
nos estamos refiriendo a la raz´on de cambio promedio de la variable y
∆x→0 ∆x
cuando se consideran cambios cada vez m´as peque˜
nos en la variable x.
Podemos decir que con este l´ımite se busca una raz´on de cambioinstant´anea de la variable y con respecto
a la variable x.
Es decir, cuando hacemos que la longitud (| ∆x |) del intervalo limitado por x0 & x0 + ∆x tienda a cero,
“la raz´on de cambio promedio de y” se convierte en “la raz´on de cambio instant´anea de y”, por supuesto,
con respecto a x.
Ahora bien, al escribir l´ım

Concretando y generalizando.
Si se tiene que la variable w est´a en funci´on dela variable u, entonces decimos que w = φ(u).
Si ∆u es un incremento en la variable u, entonces:
1. ∆w = φ(u + ∆u) − φ(u) es el incremento de la variable w.
2.

φ(u + ∆u) − φ(u)
∆w
=
es la raz´on de cambio promedio de la varible w, a lo largo del intervalo
∆u
∆u
limitado por u & u + ∆u.
w = φ(u)

φ(u + ∆u)

•

∆w

φ(u))

•
∆u

u
u

u + ∆u

dw
φ(u + ∆u) − φ(u)
∆w
=l´ım
= l´ım
es la raz´on de cambio instant´anea de la
∆u→0
∆u→0
du
∆u
∆u
variable w con respecto a la variable u.
dw
Es decir, la derivada
es la raz´on de cambio instant´anea de w con respecto a u.
du

3. φ (u) =

Comentario adicional.
En el caso particular en que la variable independiente es el tiempo t ≥ 0, es usual referirse a la derivada
como una rapidez (o velocidad) decambio, en lugar de decir raz´on de cambio instant´anea con respecto a
t. Por ejemplo:
dx
= φ (t) es la
dt
rapidez de cambio de la posici´on x = φ(t), que es la velocidad instant´anea del m´ovil.

• si x = φ(t) es la posici´on de un m´ovil en el instante de tiempo t ≥ 0, entonces

dv
= g (t) es la
dt
rapidez de cambio de la velocidad v = g(t), que es la aceleraci´on instant´anea delm´ovil.

• si v = g(t) es la velocidad de un m´ovil en el instante de tiempo t ≥ 0, entonces

2

CAP´ITULO 7.

7.1. RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS

Supongamos que tenemos una funci´on de la que queremos medir su raz´on de cambio. Si la funci´on se
encuentra relacionada con otras de las cuales es m´as facil calcular la derivada y logramos que todas ellas
aparezcan en una misma igualdadpodremos entonces igualar la derivada de ambos miembros y de aqu´ı
despejar la raz´on de cambio deseada que aparecer´a ahora en t´erminos de las otras. Decimos que tenemos
un problema de razones de cambio relacionadas.
En este tipo de problemas es de vital importancia tener muy claro ¿qu´e es lo que se pide en el problema?
as´ı como, ¿qu´e es lo que se sabe en el problema? Teniendo claro lo que...