Ejercicios04

Barranquilla, 20 de febrero de 2015

Universidad del Norte
´ n de ciencias ba
´ sicas
Divisio
´ ticas y estadisticas
Departamento de matema
Ecuaciones diferenciales - Taller 4

Ejemplo 1
Determine si la EDO es exacta, en caso de serlo determine su soluci´
on.
ln(x − y) +

x+y
x+y
dx + ln(x − y) −
dy = 0
x−y
x−y

Soluci´
on
Sean M (x, y) y N (x, y) continuas y con primeras derivadas parciales enuna regi´
on rectangular
D entonces una condici´
on necesaria y suficiente para que
M (x, y)dx + N (x, y)dy
sea una diferencial exacta (es decir, si corresponde a la diferencial de alguna funci´on f (x, y) definida
en D) es
∂N
∂M
=
∂y
∂x
Se tiene a partir de la EDO que
M (x, y) := ln(x − y) +
N (x, y) := ln(x − y) −
Por lo tanto
y

entonces

x+y
x−y

x+y
x−y

x+y
x+y
∂M
= − (x − y)−1 + (x − y)−1 +2 =
∂y
(x − y)
(x − y)2
x+y
∂N
x+y
= (x − y)−1 − (x − y)−1 +
=
2
∂x
(x − y)
(x − y)2

∂N
∂M
=
∂y
∂x
y se puede concluir que la ecuaci´
on diferencial es Exacta. Entonces existe una funci´on f tal que
∂f
x+y
= M (x, y) = ln(x − y) +
∂x
x−y

NRC: 2997,3000 (RP) - 2998,2999 (CD) - 3001 (EB)
Prof. Catalina Dom´ınguez - Prof. Ricardo Prato T.

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NRC: 2997,3000 (RP) - 2998,2999 (CD) - 3001 (EB)Taller semana 5 (23.02.15-27.02.15) Ecuaciones diferenciales

Ejercicios

Integrando con respecto a x se tiene que
f (x, y) =

M (x, y)dx + g(y)

x+y
dx + g(y)
x−y
= ln (x − y) (x − y) − x + y + x + 2 ln (x − y) y + g(y)
ln(x − y) +

= ln (x − y) (x − y) + y + 2 ln (x − y) y + g(y)
Derivando con respecto a y se tiene

∂
∂f
=
(ln (x − y) (x − y) + y + 2 ln (x − y) y) + g ′ (y) = N (x, y)
∂y
∂y
estoes
ln (x − y) − 2
por lo que
g′ (y) = 2
De lo anterior,

y
x+y
+ g′ (y) = ln(x − y) −
x−y
x−y

y
x+y
−
= −1
x−y x−y

=⇒

g(y) = −y

f (x, y) = ln (x − y) (x − y) + y + 2 ln (x − y) y − y = ln (x − y) (x + y)
Entonces, la soluci´
on en forma implicita toma la forma
ln (x − y) (x + y) = C
Ejemplo 2
Determine si la EDO es exacta, en caso de serlo determine su soluci´
on.
ex (x2 ex + ex + xy + y) dx +(xex + y) dy = 0
Soluci´
on
Se tiene a partir de la EDO que
M (x, y) := ex (x2 ex + ex + xy + y)
N (x, y) := xex + y
Por lo tanto

∂M
= xex + ex
∂y

y
∂N
= xex + ex
∂x

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Taller semana 5 (23.02.15-27.02.15) Ecuaciones diferenciales

=

entonces∂M
∂N
=
∂y
∂x

y se puede concluir que la ecuaci´
on diferencial es Exacta. Entonces existe una funci´on f tal que
∂f
= N (x, y) = xex + y
∂y

f (x, y) =
=

N (x, y) dy + g(x)
(xex + y) dy + g(x)

1
= xex y + y 2 + g(x)
2
Derivando con respecto a x se tiene
∂f
∂
=
∂x
∂x

1
xex y + y 2
2

+ g′ (x) = M (x, y)

esto es
ex y + xex y + g′ (x) = ex (x2 ex + ex + xy + y)
por lo que
g′ (x) = ex x2 ex + ex +xy + y − ex y − xex y = e2 x x2 + 1
entonces
g(x) =

e2 x x2 + 1 dx =

1
3 − 2 x + 2 x2 e2 x
4

De lo anterior,
1
1
3 − 2 x + 2 x2 e2 x
f (x, y) = xex y + y 2 +
2
4
Entonces, la soluci´
on en forma impl´ıcita toma la forma
1
1
xex y + y 2 +
3 − 2 x + 2 x2 e2 x = C
2
4

Ejemplo 3
Encuentre los valores de k y p de manera que la ecuaci´
on diferencial sea exacta.
(3 k2 xy + 8 xy 2 )dx + (6 x2 − 2 (2− p) x2 y)dy = 0

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Taller semana 5 (23.02.15-27.02.15) Ecuaciones diferenciales

Integrando con respecto a y se tiene que

Soluci´
on
Como se asume que la EDO es exacta, entonces
∂N
∂M
=
∂y
∂x
donde

N (x, y) := 6 x2 − 2 (2 − p) x2 y
Por lotanto

∂M
= 3 k2 x + 16 xy
∂y

y
∂N
= 12 x − 4 (2 − p) xy
∂x
entonces
3 k2 x + 16 xy = 12 x − 4 (2 − p) xy =⇒ (24 − 4 p) xy + 3 k2 − 12 x = 0
Para que lo anterior sea cierto se debe cumplir que
24 − 4 p = 0 ⇒ p = 6
y
3 k2 − 12 = 0 ⇒ k = ±2
es decir la EDO toma la forma
(12 xy + 8 xy 2 )dx + (6 x2 + 8 yx2 )dy = 0

Ejemplo 4
Determine si la EDO es exacta, en caso de serlo determine su soluci´
on,...