Ejercicios1erOrdenAplicadosED

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS
F´
ISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

ECUACIONES DIFERENCIALES MAT 525223

´ DE ALGUNOS PROBLEMAS DE
RESOLUCION
APLICACIONES DE EDO DE PRIMER ORDEN

Autores
Julio Careaga S.
Horacio Sanhueza J.
Profesores
Ernesto C´aceres V.
Freddy Paiva V.

Abril de 2015
´ CHILE
CONCEPCION,

Agradecimientos

Los reconocidos alumnosayudantes del Departamento de Ingenier´ıa Matem´atica, se˜
nores Horacio Sanhueza J. y Julio Careaga S., nos han colaborado en la preparaci´on de dos suplementos de problemas resueltos. Este
corresponde al segundo de ellos, correspondiente a problemas de aplicaci´on de ecuaciones de primer orden detalladamente resueltos, siguiendo
y haciendo uso de los resultados te´oricos ya vistos en clases. Esperamosque dicho aporte permita mejorar el aprendizaje de las Ecuaciones de
Primer Orden y sus Aplicaciones.

Ernesto C´aceres V.

Freddy Paiva V.

1

Problema 1. Un paracaidista cae desde el reposo. El peso combinado del paracaidista y su paraca´ıdas es W . El paraca´ıdas tiene una fuerza actuando sobre ´el (debido a la resistencia del aire)
la cual es proporcional a la velocidad en cualquier instantedurante la ca´ıda. Asumimos que el
paracaidista cae verticalmente hacia abajo y que el paraca´ıdas ya est´a abierto cuando el salto
ocurre, describa el movimiento resultante.
Soluci´
on : Se consideran el diagrama f´ısico y de fuerzas del problema

x=0

D.f uerzas :

H

R
x

P

P

W

Figura 1: Diagrama f´ısico y de fuerzas del paracaidista cayendo del helic´optero.
En la imagen se considera R comola fuerza de resistencia del aire actuando hacia arriba y W es el
peso combinado actuando hacia abajo, H y R denotan helic´optero y paracaidista respectivamente.
Dado que la resistencia es proporcional a la velocidad, denotando esta u
´ltima por v se cumple
R ∝ |v|

∨

R = β|v| = βv (v ≥ 0),

con β la constante de proporcionalidad. Aplicando la segunda ley de Newton
m

dv
= W − βv,
dt

pero lamasa se puede expresar en t´erminos del peso, es decir m = W/g, por lo tanto:
W dv
= W − βv,
g dt

v(0) = 0.

Se observa que la ecuaci´on anterior es de variables separables, luego despejamos e integramos
definidamente, esto es
dv
g
=
dt ⇔
W − βv
W

v
0

dv
=
W − βv
2

t
0

g
d t,
W

con v =

W
,
β

del lado izquierdo haciendo un cambio de variables del tipo W − β v se obtiene
W
1
1
1
.
− ln|W − βv|+ ln|W | = ln
β
β
β
W − βv
Luego igualando a la integral del lado derecho y aplicando exponencial
gβ
gβ
1
W
W
βv − W
g
ln
t ⇔
=
= eW t ⇔
= e− W t .
β
W − βv
W
W − βv
W

De la definici´on de valor absoluto obtenemos dos posibles soluciones dependiendo del valor de v
gβ
βv−W
= e− W t ,
W

si v >

W
,
β

gβ
W
βv−W
= −e− W t , si v <
.
W
β
Dado que la velocidad parte de cero, la soluci´onf´ısicamente relevante en este caso es la segunda,
esto es:
gβ
W
v(t) =
1 − e− W t ,
β

la velocidad v = W
es denominada velocidad limite. Para encontrar la funci´on posici´on con
β
respecto al tiempo x := x(t) integramos la funci´on velocidad, asumiendo que x(0) = 0. Esto es:
t

x(t) :=

t

v( t )d t =
0

de donde se obtiene:
x(t) =
v

0

W
β

t+

gβ
W
1 − e− W t d t,
β

W −gβ t W
e W −
gβ
gβ

.

x

velocidadl´ımite W/β

t

t

Figura 2: Grafico velocidad versus tiempo (izquierda) y posici´on versus tiempo (derecha).
Se observa que cuando el tiempo tiende a infinito la velocidad tiende a la velocidad limite W/β y
la posici´on crece a una tasa constante.
Ejercicio extraido del texto Ecuaciones diferenciales aplicadas, Murray R Spiegel, tercera edici´
on ISBN O-13-234997-3.

3

Problema 2. En un tanquede 700 litros de capacidad, hay 100 litros de salmuera (agua con sal)
a una concentracion de 0,2 Kg/lt. Hacia el interior del tanque, se bombea agua con 0,1 Kg/lt de
sal a una tasa de 5 lt/min; por una v´alvula de escape, huyen al exterior 2 lt/min. Suponiendo que
la mezcla de agua y sal es homog´enea en todo instante, y que en el proceso se esta evaporando
agua pura a una tasa de 1 lt/min....