Ejercicios3 SEL0708

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METODOS
NUMERICOS.
CURSO 2007-08
Resoluci´
on de sistemas de ecuaciones lineales.
1. Realice las operaciones, si es posible, que se indican para las matrices:

2 −1
B= 0
3 
5
7


A=

1 −1 2
3
2 5

a) AB + D;

BA + C;

b) A(At D);

(AAt )D;


1 −1
3
C= 5
0
2 
1
1 −1


D=

1 3
−1 1

2BA − 3C
(At + B)D

c) (AB)2 , ¿es cierta la igualdad (AB)2 = A2 B 2 ?
2. Por el m´etodo de Gaussresuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el pivote parcial:
2x + 2y + 3z + 2u = −2
2x + 2y + 3z + u = −10
4x − 3y + 3z + 2u = −7
6x + y − 6z − 5u = −6
3. Resuelva por el m´etodo de Gauss con elecci´on de pivote el siguiente sistema de ecuaciones
2y + u = 0
2x + 2y + 3z + 2u = −2
4x − 3y + u = −7
6x + y − 6z − 5u = 6





1 0 1
1
2 0
4. Dadas las matrices A =  0 1 0  y B =  −2 −4 1,
−1 0 1
0
1 1
a) Comprueba que A admite descomposici´on LU y calcula una.
b) Comprueba que B no admite descomposici´on LU.
c) Da una permutaci´on de las filas de B que admita descomposici´on LU y calc´
ulala.
5. Determine cu´ales de las matrices que se dan son E.D.D. ¿Cu´ales admiten una descomposici´on
de Doolittle?






−4
1 −1
1
2 −1 0
2 −1 −1


0 −1 
 2 −4
A =  2 −5 2  , B = 
3
1
 , C =  −1
4
1 
 0 −2
−1
3 4
1
1
3
2 −1
3
8

1

6. Determina razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) La inversa de una matriz sim´etrica regular es sim´etrica regular.
b) La suma de matrices definidas positivas es una matriz definida positiva.
c) Si A admite una descomposici´on LU entonces es regular.
d) Toda matriz ortogonal admite una descomposici´on LU
7.Utilizando la descomposici´on LU de Doolittle, resuelve A.x = b, donde



−2
2 1 −1
A =  −2 0
3  y b= 5 
2
6 5
0



81 9 0
8. Dada la matriz: A =  9 5 2  ,
0 2 2


a) Descomponla, si es posible, por el m´etodo de Choleski.
b) Si x es un vector no nulo de Rn ¿qu´e puedes decir del producto xt Ax?


4 −2
2
9. (13-2-2006) Para la matriz A =  −2 10 −1 :
2 −1
2
a) Calcule, si es posible,la descomposici´on de Choleski;
b) ¿Es definida positiva la matriz?

10. Aplique el m´etodo de Choleski para la resoluci´on del sistema:

x−y+z =1
−x + 5y + z = 1
x + y + 3z = 0


 8x + y + z = 26
11. Consideramos el sistema:
x + 5y − z = 7

x − y + 5z = 7
a) Calcula la soluci´on exacta mediante el m´etodo de Gauss.
b) Calcula la soluci´on exacta usando una descomposici´on LU.
12. Dados x e yen Rn y A ∈ Mn×n (R) regular. Comprueba que la matriz A + xyt es regular si y
s´olo si (1 + yt .A−1 .x) = 0, y que, en este caso
(A + x.yt )−1 = A−1 −

2

(A−1 .x).(yt .A−1 )
1 + yt .A−1 .x

13. (Control ene-05) Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
a) Dada una matriz A ortogonal, el sistema Ax = Bx − b tiene soluci´on cuando B es tambi´en
ortogonal.
b) Todas las matricessim´etricas, si son regulares, admiten descomposici´on LU.


1 0 −1
c) Si la matriz A =  0 1 1  es definida positiva, entonces es regular y α = 2
−1 1

α

d) Si A y B son matrices tales que AB = BA, entonces bien una de ellas es invertible bien
ambas son sim´etricas.
e) Toda matriz que se descomponga en la forma A = L Lt (con L triangular inferior) es definida
positiva.
14. Resuelve elsiguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el m´etodo de factorizaci´on de
Doolitle. ¿Se podr´ıa aplicar el m´etodo de Choleski? Justifica tus respuestas.
  

−4 −1
6
x
1
 8 4 −14   y  =  −2  .
4 7 −13
z
−2


15. (Control ene-05) Consideramos el S.E.L. Ax = b, del que se conoce una descomposici´on LU
como la que sigue
 


1 0 0
3 2 a1,3
3 2 −1
A =  2 4 −1  =  l2,1 1 0   0 83− 31  = LU
1
1
1 a3,2 3
1
0 0 u3,3
3
2


a) Deduce los valores omitidos en cada matriz.
b) Usa esa descomposici´on para calcular la soluci´on exacta del sistema Ax=b con b = (4, 1, 0)t .
 



100
4 −1 0
0
0
x1

 
 −1 4 −1 0

0 
  x2   0 


 


16. Resuelva el sistema:  0 −1 4 −1 0   x3  =  0 

 


 0
0 −1 4 −1   x4   0 
x5
200
0
0
0 −1 4
mediante...