Ejercicios8A

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CAPÍTULO 1

Ecuaciones lineales en álgebra lineal

En general, la sección se debería leer varias veces para asimilar plenamente un concepto
tan importante como el de independencia lineal. Lasnotas en la Guía de estudio para esta
sección ayudarán a construir imágenes mentales de las principales ideas de álgebra lineal. Por
ejemplo, es importante leer con cuidado la siguiente demostración, yaque ilustra cómo se
emplea la definición de independencia lineal.
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 7 (Caracterización de conjuntos linealmente
dependientes) Si alguna vj en S es una combinación lineal de losdemás vectores, entonces
vj se puede restar en ambos lados de la ecuación, produciendo así una relación de dependencia
lineal con un peso diferente de cero (Ϫ1) sobre vj. [Por ejemplo, si v1 ϭ c2v2 ϩc3v3, entonces
0 ϭ (Ϫ1)v1 ϩ c2v2 ϩ c3v3 ϩ 0v4 ϩ иии ϩ 0vp.]. Por lo tanto, S es linealmente dependiente.
A la inversa, suponga que S es linealmente dependiente. Si v1 es cero, entonces es unacombinación lineal (trivial) de los demás vectores en S. De otra forma, v1 0, y existen pesos
c1,…, cp, sin que todos sean cero, tales que
c1v1 ϩ c2v2 ϩ иии ϩ cpvp ϭ 0
Sea j el subíndice más grande para elcual cj 0. Si j ϭ 1, entonces c1v1 ϭ 0, lo que es imposible porque v1 0. De manera que j Ͼ 1, y

c1 1 C

C cj j C 0j C1 C

C 0 p D 
cj j D c1 1
cj 1  j 1
Â
Ã
Â
Ã
cj 1
c1
j D
1 C C
j
cj
cj

1■

PROBLEMAS DE PRÁCTICA
2

3
2
3
2
3
2
3
3
6
0
3
Sean  D 4 2 5  D 4 1 5
D 4 5 5 y  D 4 7 5.
4
7
2
5

1. Determine si los siguientes conjuntos son linealmente independientes y explique porqué:
{u, v},{u, w},{u, z},{v, w},{v, z} y {w, z}.
2. ¿Las respuestas al problema 1 implican que {u, v, w, z} es linealmente independiente?
3. Para determinar si {u, v, w, z} es linealmente dependiente,¿es aconsejable comprobar
si, por ejemplo, w es una combinación lineal de u, v y z?
4. ¿El conjunto {u, v, w, z} es linealmente dependiente?

1. 7 E JE RCICIO S
En los ejercicios 1 a 4, determine si...