EjerciciosCálculoVectorial3

1

EJERCICIOS 3.1

1. Sean f : R3 → R2 y g : R3 → R3 dos campos vectorieles definidos como sigue:
f (x, y, z) = (x2 + y + z)i + (2x + y + z 2 )j,

g(u, v, w) = uv 2 w2 i + w2 senvj + u2 ev k.

(a)Calcular cada una de las matrices jacobianas Df (x,y,z) y Dg(u,v,w) .
(b) Calcular f ◦ g.
(c) Calcular la matriz jacobiana Dh(u,0,w) .
2. Calcular
y 2 dx + z 2 dy + x2 dz ,
C

x2

y2

donde C es laintersecci´on de
+ + z 2 = a2 (z ≥ 0) y x2 + y 2 = ax, a > 0 (parte de la curva
de Viviani), recorrida en sentido contrario al del movimiento de las agujas del reloj, si se observa
desde la partepositiva (x > a) del eje X.
3. Un campo de fuerzas bidimensional f viene dado por la ecuaci´
on f (x, y) = cxyi + x6 y 2 j
siendo c una constante positiva. Esa fuerza act´
ua sobre una part´ıcula que semueve desde (0, 0)
hasta la recta x = 1 siguiendo una curva de la forma
y = axb ,

en donde a > 0 y b > 0.

Encontrar el valor de a (en funci´on de c) tal que el trabajo realizado por esa fuerza seaindependiente de b.
4. Un recipiente esf´erico homog´eneo de radio a est´a cortado por una hoja de un cono circular
recto cuyo v´ertice est´a en el centro de la esfera. Si el ´angulo en el v´erticedel cono es α, siendo
0 < α < π, determinar (en funci´on de a y α) el centro de gravedad de la porci´
on del recipiente
esf´erico que es interior al cono.
5. Dados dos campos escalares u y v derivablescon continuidad en un conjunto abierto que
contiene el disco R cuya frontera es la circunferencia x2 +y 2 = 1. Definimos dos campos vectoriales
f y g como sigue:
f (x, y) = v(x, y)i + u(x, y)j,Encontrar el valor de la integral doble
R

g(x, y) =

∂u ∂u
i+
−
∂x ∂y

f · g dx dy si se sabe que sobre la frontera de R se tiene

que u(x, y) = 1 y v(x, y) = y.
6. Un campo escalar ϕ tiene lapropiedad
∇ϕ

2

∂v
∂v
j.
−
∂x ∂y

= 4ϕ

y

div(ϕ∇ϕ) = 10ϕ.

2
Calcular la integral de superficie

∂ϕ
dS,
∂n
S

donde S es la superficie de la esfera unidad con centro en el origen, y ∂ϕ/∂n es la derivada...