EjerciciosPlanoTangente




1.3 Planos tangentes y rectas normales a las superficies

Se llama plano tangente a una superficie (S) en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadassobre la superficie por el punto P.



Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente.

Si la superficie está definida de maneraimplícita por la ecuación, entonces la ecuación del plano tangente en un punto de la superficie viene definido por la ecuación:






y la recta normal por:



Si la ecuación de lasuperficie está definida de manera explícita entonces: La ecuación del plano tangente en el punto viene definida por


Y la ecuación de la recta normal:

La ecuación del planotangente se puede utilizar para calcular el valor aproximado de una función. Gráficamente significa medir el valor de la función sobre el plano tangente y no sobre la superficie.Ejemplo 1
Determinar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie de ecuación

en el punto .

Solución:

Hallamos las derivadas parciales:

En el punto las derivadasparciales son:
Luego la ecuación del plano tangente en el punto es:



O bien, simplificando

y la ecuación de la recta normal es:

Ejemplo 2

Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloideen el punto




Comenzamos calculando las derivadas parciales




En el punto las derivadas parciales son:


Luego la ecuación del plano tangente en el puntoes:







Al simplificar


Ejercicios propuestos
En los siguientes problemas determine una ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie dada en el punto indicadoP


































11) Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide en el punto

12) Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide...