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Índice
1 Diferenciales

1

2 Integral indefinida

4

Fernando Flores-Bazán

1. Diferenciales
Ejercicio 1
Para las funciones siguientes calcule las diferenciales correspondentes.
1. f (x) = 5x5 − 3x2 + 4

2. f (x) = cos2 (4x)

Resolución:
′

′

1. f (x) = 25x4 − 6x entonces la d f (x) = f (x)dx = (25x4 − 6x)dx
′

2. Como f (x) = cos2 (4x) entonces d f (x) = 2 cos(4x)[cos(4x)] = 2 cos(4x) · (−sen(4x))4 =
−8 cos(4x) sen(4x)

Ejercicio 2
Resolver los problemas siguientes, utilizando diferenciales.
(a) Al calentar una placa metálica cuadrada de 15 cm. de longitud por lado, su lado aumenta
0.04 cm.¿Cuánto aumentó aproximadamente su área?
(b) Al enfriar una placa metálica cuadrada de 20 cm. de lado, su lado disminuye un
0,03 %.¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área?.

1

FernandoFlores-Bazán

Resolución:

En general el área del cuadrado es
A = l 2 , donde l es la medida del lado.
El incremento del área del cuadrado es
d A = 2ldl

(a)

15 cm
15.04 cm

Si el lado del cuadrado aumentó en 0,04cm
entonces el área también aumentó en d A =
2(15)(0,04) = 1,2cm2

En general el área del cuadrado es
A = l 2 , donde l es la medida del lado.
El incremento del área del cuadrado es
d A = 2ldl(b)

19.994 cm
20 cm

Si el lado del cuadrado disminuyó en 20 ·
20 % = 0,006cm entonces el área también disminuye, en efecto
d A = 2(19,994)(0,006) = 0,239928cm2
dA
veamos el porcentaje de disminución
=
A
0,239928
= 0,0006 ∼
= 0,06 %,
(20)2
concluyendo que si el lado disminuye el
0,03 % su área disminuye el 0,06 %

Ejercicio 3
Si la medida de la arista de un cubo es 12 pulgadas, con un posibleerror de 0.03 pulgadas,
estimar mediante diferenciales el máximo error posible cometido al calcular
(a) El volumen del cubo.

(b) El área del cubo.

2

Fernando Flores-Bazán

Resolución:
El error y el error máximo, se interpreta como la diferencial.
El área del cubo es A = 6l 2
El volumen del cubo es
V = l 3 , donde l es la medida del lado.
El error máximo cometido al calcular el volumen del cuboes
dV = 3l 2 dl
El error máximo cometido al calcular el
área del cubo es
d A = 12ldl

(a)

12 pul
12.03 pul

Al medir el lado del cubo se cometió un
error de 0.03 pul., entonces el error máximo
cometido al calcular el volumen del cubo es
dV = 3l 2 dl = 3 · (12)2 · 0,03 = 12,96pul 2
Al medir el lado del cubo se cometió un
error de 0.03 pul., entonces el error máximo
cometido al calcular el área delcubo es
d A = 12ldl = 12 · 12 · 0,03 = 4,32pul 2

Ejercicio 4
La medida del radio de una esfera es de 6cm., con un margen de error de 0.02 cm. Estimar
el error propagado al calcular su volumen y su área. Asi como también calcular los errores
porcentuales para el volumen y el área.

3

Fernando Flores-Bazán

Resolución:
4
El volumen de la esfera es V = π r 2 donde r = 6cm y el margen del error es3
−0,02 ≤△ r ≤ 0,02 error posible

Cálculo de la estimación del error propagado al calcular su volumen

dV ⋍△ V

dV = 4π r 2 dr

=⇒

dV = 4π(6)2 (±0,02) = ±2,88π cm3

=⇒

Cálculo de la estimación del error propagado al calcular su área
El área de la esfera es A = 4π r 2 entonces
dV

=

8π rdr
d A = 8π(6)(±0,02) = ±0,96π cm2

=⇒

Los errores porcentuales nos indica que tan grande o pequeño fue laestimación del error
propagado tanto para el volumen como para el área.
Cálculo del error relativo e rV y porcentual ,e pV del volumen:
e rV

=⇒

dV 4π r 2 dr 3dr
=
=
4 3
V
r
πr
3
3(±0,02)
e rV =
= ±0,01
6

=⇒

e pV = 100 % · e rV = 1 %

=

Cálculo del error relativo e rV y porcentual ,e pV del área:
erA

=⇒

d A 8π rdr 2dr
=
=
A
r
4π r 2
2(±0,02) ±0,02
erA =
=
6
3

=⇒

e pA = 100 % · e r A = 0,67%

=

2. Integral indefinida
Ejercicio 5
Calcular las integrales siguientes
1.

(x − sen(x))dx

2.

(e x + 3e− x )dx
4

Fernando Flores-Bazán

Resolución:

1.
(x − sen(x))dx

xdx −

=

sen(x)dx =

(x − sen(x))dx =

=⇒

x2
+ cos(x) + C
2

x2
+ cos(x) + C
2

2.
(e x + 3e− x )dx

e x dx +

=

3e− x dx = e x − 3e− x + C

(e x + 3e− x )dx = e x − 3e− x + C

=⇒

Ejercicio 6
Calcule las integrales...