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INTRODUCCIÓN

El presente trabajo muestra un resumen y ejercicios sobre la unidad 4 Cadenas de Markov; entendiendo como cadenas de Markov a un tipo especial de proceso estadístico discreto en el que la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediatamente anterior.

Dicho método a continuación descrito es de extrema utilidad para resolver problemas en los cuales se debe tomaruna decisión, estos métodos nos ayudan a tomar la mejor decisión en base a un criterio amplio, ya que nos ayuda a visualizar las probabilidades futuras que se entandaran en algún proceso, ya que este tipo de cadenas mantienen una memoria del ultimo evento lo cual condiciona la probabilidad del futuro.











CADENA DE MARKOV
Una cadena de Markov es una sucesión de ensayos similares uobservaciones en la cual cada ensayo tiene el mismo número finito de resultados posibles y en donde la probabilidad de cada resultado para un ensayo dado depende sólo del resultado del ensayo inmediatamente precedente y no de cualquier resultado previo.

Propiedad de Markov: Dada una secuencia de variables aleatorias ...... , , , X1 X2 X3, tales que el valor de Xn es el estado del proceso en el tiempo n.Si la distribución de probabilidad condicional de Xn+1 en estados pasados es una función de Xn por sí sola, entonces:

Donde i x es el estado del proceso en el instante i.
MATRIZ DE TRANSICIÓN
Definición: Consideremos un proceso de Markov en que el sistema posee n estados posibles, dados por los números 1, 2, 3, …., n. Denotemos Pij a la probabilidad de que el sistema pase al estado j después decualquier ensayo en donde su estado era i antes del ensayo. Los números Pij se denominan probabilidades de transición y la matriz nxn P= (pij) se conoce como matriz de transición del sistema.
Observaciones:
1) La suma pi1 + pi2 + … + pin=1. Esta suma representa la probabilidad de que el sistema pase a uno de los estados 1, 2, …., n dado que empieza en el estado i. Ya que el sistema ha de estar enuno de estos n estados, la suma de probabilidades debe ser igual a 1. Esto significa que los elementos en cualquier renglón de la matriz de transición deben sumar 1.
2) Cada elemento pij ≥ 0














1.- suponga que la matriz de transición de cierta cadena de Markov está dada por:

Donde la primera fila y columna indica el estado 1 y la segunda fila y columna el estado 2.
a) ¿Qué representael elemento ¼ de matriz?
Es la probabilidad de estar en el estado 1 en el periodo 2
b) Suponiendo que el sistema se encuentra en un principio en el estado1, con un diagrama de árbol encuentre la matriz de estado después de dos ensayos.

(19/36 17/36)
c) Ahora mediante el teorema 1 encuentre la respuesta a la pregunta anterior.


d) ¿Cuál es la matriz estacionaria del sistema?
S = S1 S2 =2/3 S1 + 1/4 S2 = S1 -1/3 S1 + 1/4 S2 = 0
1/3 S1 + 3/4 S2 = S2 1/3 S1 + -1/4 S2 = 0
S1 + S2 = 1
S1 = 3/7 S2 = 4/7
2.- La matriz de transición de cierto proceso de Markov es:

a) Si el sistema se encuentra en un principio en el estado 1, determine la matriz estado después de dos etapas del proceso.



b) Si el sistema seencuentra inicialmente en el estado 2, encuentre la matriz de estado después de dos etapas.




c) Determine la matriz estacionaria.

0.3S1 + 0.1S2 + 0.4S3 = S1 -0.7S1 + 0.1S2 + 0.4S3 = 0
0.5S1 + 0.6S2 + 0.1S3 = S2 0.5S1 + -0.4S2 + 0.1S3 = 0
0.2S1 + 0.3S2 + 0.5S3 = S3 0.2S1 + 0.3S2 + -0.5S3 = 0
S1 + S2 + S3 = 1 S1 + S2 + S3 = 1

S1 = 17/67 S2 =27/67 S3 = 23/67

3.- Las probabilidades de que cierto país sea gobernado por uno de tres partidos políticos X, Y o Z después de la próxima elección están dadas por la matriz de transición:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el partido Z gane la próxima elección si el partido X esta ahora en el poder?

La probabilidad de que el partido Z gane la próxima elección es de 1/6 o 16.66 %
b) Cual es...