Ejercico Ecuaciones Difernciales

TRABAJO APLICACIONES DE
ECUACIONES DIFERENCIALES






Presentado por:
Diego armando leal Benítez
CODIGO: 1019010471







TUTOR:
FERNEY CORTES






UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA "UNAD"
PROGRAMA INGENIERIA INDUSTRIAL
ECUACIOENES DIFERNCIALES
2012


















APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ENINGENIERÍA INDUSTRIAL





Las ecuaciones diferenciales son muy interesantes en cuanto a la posibilidad que presentan para indagar sobre variedad de problemas de las ciencias físicas, biológicas y sociales. A partir de la formulación matemática de situaciones físicas, biológicas o sociales se describen procesos reales aproximados. Dentro de los diversos campos de acción de la ingenieríaindustrial, una de las múltiples aplicaciones de ecuaciones diferenciales está relacionada con matemáticas financieras, un ejemplo es:

➢ A los 20 años Pablo Rodríguez abre una cuenta individual de retiro en Bancolombia con una inversión inicial de 2 millones de pesos y a partir de ese momento se propone efectuar depósitos anuales de 1 millón de pesos de manera continua. El Banco le reconoce unatasa de interés efectiva anual del 9% anual constante. A los 40 años decide retirar su dinero.
a) ¿De cuánto es el monto?
b) ¿cuál es la ganancia obtenida a partir del interés efectivo anual?




SOLUCIÓN


La razón de cambio del valor de la inversión es: dP/dt, y esta cantidad es igual a la rapidez con la que se acumula el interés, que es la tasa de interés ie multiplicada por elvalor actual de la inversión P(t), por tanto:



Además se conoce el valor de la inversión en el periodo cero, es decir:

P(0) = P0

También se hacen depósitos, los cuales son efectuados a través de una cuota constante K, lo que da como resultado:




Siendo K positiva para los depósitos.

Ahora la ecuación diferencial de primer orden está dada por:


; P(0) = P0

La ecuación seclasifica como ecuación diferencial lineal:



; P(0) = P0





SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL:


1. Calcular el factor de integración:



W(t) =

W (t) =

2. Multiplicar a ambos lados de la ecuación por W (t)




3. Identificar el lado izquierdocomo la derivada de un producto



4. Integrar a ambos lados:






5. Despejar P





Conociendo que en t =0, P = P0









Reemplazando C en la solución general:











A partir de los valores dados por el problema:

P0 = 2´000.000
K = 1´000.000
i = 9% anual
t = 20 años
P =? ; G =?

a)








RTA: Después de 2 añosPablo Rodríguez recibe el monto de 68´206.489 pesos de Bancolombia.

b) Pablo Rodríguez deposita durante los 20 años una cantidad total T de 22´000.000 de pesos.

La ganancia está dada por:
G = P-T

G = 68´206.489 – 22´000.000




RTA: La ganancia obtenida a partir del interés efectivo es de 46´206.489 pesos.








Ejercicio 2


Un producto nuevo de cereal se introduce através de unas campañas de publicidad a una población de 1 millón de clientes potenciales. La velocidad a la que la población se entera del producto se supone que es proporcional al número de personas que todavía no son conscientes del producto. Al final de un año, la mitad de la población ha oído hablar del producto. ¿Cuántos han oído hablar de él por el final de 2 años?

SOLUCIÓN

En primerlugar definimos las variables que forman parte del problema:
Y: es el número en millones de personas (clientes potenciales).
t : tiempo que han oído hablar del producto.
(1-Y): es el número de personas que no han oído de este.
dy : la velocidad a la que la población conoce sobre el producto.
dt

En segundo lugar especificamos la expresión diferencial que describe el problema.



dy...