ejercicos de catenaria

     CÁLCULO MECÁNICO
    1. ECUACIÓN DE LA FLECHA
    1.1. Planteamiento de la ecuación de la flecha
    Un conductor de peso uniforme, sujeto entre dos apoyos por los puntos A y B situados a la misma altura, forma una curva llamada catenaria. La distancia f entre el punto más bajo situado en el centro de la curva y la recta AB, que une los apoyos, recibe el nombre de flecha. Se llama vano ala distancia "a" entre los dos puntos de amarre A y B.






    Los postes deberán soportar las tensiones TA y TB que ejerce el conductor en los puntos de amarre. La tensión T = TA = TB dependerá de la longitud del vano, del peso del conductor, de la temperatura y de las condiciones atmosféricas.
    Para vanos de hasta unos 500 metros podemos equipararla forma de la catenaria a la deuna parábola, lo cual ahorra unos complejos cálculos matemáticos, obteniendo, sin embargo, una exactitud suficiente.
    La catenaria deberá emplearse necesariamente en vanos superiores a los 1000 metros de longitud, ya que cuanto mayor es el vano, menor es la similitud entre la catenaria y la parábola.
    Calculamos a continuación la relación que existe entre la flecha y la tensión. Para ellorepresentamos el conductor de un vano centrado en unos ejes de coordenadas:






   
 Consideramos un trozo de cable OC que tendrá un peso propio P aplicado en el punto medio y estará sometido a las tensiones TO y TC aplicadas en sus extremos.
    Tomando momentos respecto al punto C tendremos:

    Por lo tanto el valor de y será:

    Si llamamos Pal peso unitario del conductor, el peso total del conductor en el tramo OC, que hemos llamado PL, será igual al peso unitario por la longitud del conductor, que cometiendo un pequeño error denominaremos x.
    Por lo tanto admitiendo que:

y sustituyendo esta expresión en la fórmula anterior del valor de y resulta:

    Si ahora consideramos el punto A correspondiente al amarre del cable envez del punto C, tendremos que:

    Por lo tanto al sustituir queda:

    Podemos despejar el valor de la tensión TO y tendremos que:



    La ecuación [1 nos relaciona la flecha f en función de la tensión TO, del peso unitario del conductor P y de la longitud del vano a.
    Si comparamos esta ecuación de la parábola con la de la catenaria:
↔
podemos observar lacomplejidad de ésta, y como demostraremos más adelante, los resultados serán prácticamente iguales.
    Nos interesa trabajar con la tensión TA en lugar de la empleada hasta ahora TO. Observamos el triángulo de fuerzas compuesto por TO, TA y PL:

y aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos:

    En los casos prácticos que se nos presentan en las líneas aéreas de alta tensión, el valor del ánguloformado por TO y TA es muy pequeño, por lo que podemos asegurar que TO  TA, aproximación que emplearemos en cálculos posteriores. Esto equivale a afirmar que la tensión a lo largo del conductor es constante.
    Referente a TA, podemos decir que esta tensión no debe sobrepasar nunca el valor de la carga de rotura del conductor Q , pues de lo contrario se rompería:

siendo  el coeficiente deresistencia a la tracción del conductor utilizado y S la sección del mismo.
    Puesto que un conductor no debe trabajar nunca en condiciones próximas a las de rotura, se deberá admitir un cierto coeficiente de seguridad n tal que:

    El Reglamento de Líneas de Alta Tensión admite coeficientes de seguridad mínimos de 2,5 y en algunos casos obliga que sea del orden de 5 ó 6.
    
    2. LONGITUD DELCONDUCTOR
    Dada la flecha que se produce en un vano, la longitud del conductor no es igual a la distancia entre los postes. Por lo tanto, para hallar el valor exacto del conductor empleado, obtendremos la expresión de la longitud del conductor en un vano, en función de la flecha y de la distancia entre los postes.

    Tomamos un elemento diferencial de longitud dl, para el que se...