Ejercicos resueltos de Calculo II

Ex´men segundo parcial
a
Alarc´n Cabrera Rodrigo
o
Altuzar Calzada Brandon
Carranza Rogerio Brenda
Garc´ Mendoza Felipe
ıa
Garc´ Rivero Maythe
ıa
Ronquillo G´mez Roberto Carlos
o
SandersMu˜oz Oscar
n
19 de abril de 2013
Ejercicio 1. Sea f : I −→ R derivable en I. Demostrar que si la derivada f nunca es
0 en I, entonces f (x) > 0 para toda x I o bien f (x) < 0 para toda x I.Demostraci´n
o
Sea I = [a, b] en el cual f nunca es cero. Por demostrar, f (x) > 0 para toda x I o bienf (x) < 0
para toda x I.
Procedamos por contradicci´n. Supongamos que ∃x1 , x2 ∈ I tales que f(x1 ) > 0 y f (x2 ) < 0. sin
o
˙
p´rdida de generalidad suponga x1 < x2 Note que :
e
f (x1 ) > 0 > f (x2 ),
As´ aplicando el Teorema de Darboux a f (x) en A := [x1 , x2 ] tenemos que ∃ c ∈ A talque f (c) = 0
ı
, lo cual es una contradicci´n. Por lo tanto concluimos que f (x) no puede tomar valores tanto positivos
o
como negativos, es decir:
f (x) > 0 para toda x
Ejercicio 2. Sup´ngaseque
o
f(0)=0, f(1)=1, f(2)=1
a). Demostrar que existe c1
b). Demostrar que existe c2
c). Demostrar que existe c

I o bien f (x) < 0 para toda x

I.

f:[0,2]−→ R es continua en [0,2] yderivable en (0,2), as´ como que
ı
(0,1) tal que f’(c1 ) = 1 .
(0,1) tal que f’(c2 ) = 0 .
1
(0,1) tal que f’(c) = 3 .

Demostraci´n
o
a)
Como f es continua en [0,2] y derivable en (0,2) , enparticular f es continua en [0,1] y derivable en
(0,1) , por lo tanto, aplicando el Teorema del Valor Medio a f en [0,1] existe
c1
(0,1) tal que
f’(c1 ) = f (1)−f (0) sustituyendo f’(c1 ) = 1−0 = 11−0
1−0
b)
Por otro lado tenemos que f es continua en [1,2] y derivable en (1,2) , aplicando el Teorema del Valor
Medio a f en [1,2] tenemos que ∃ c2 [1,2] tal que
0
f’(c2 ) = f (2)−f (1)sustituyendo f’(c2 ) = 1−1 = 1 = 0
2−1
2−1
c) Note que [c1 , c2 ] ∈ (0, 2). Como f es derivable en (0, 2) entonces es derivable en [c1 , c2 ]. Adem´s
a
note que:
1

1
3

f (c1 ) = 1 >

> 0 =...