Ejercios De Estadistica Para Negocios 2

EJERCICIOS MODELO ( Y PROPUESTOS EN EXÁMENES)
[pic] TEMA: ECUACIONES Y SISTEMAS
1-En una competición deportiva participan 50 atletas distribuidos en tres categorías: infantiles, cadetes y juveniles. El doble del número de atletas infantiles, por una parte excede en una unidad al número de cadetes y por otra, coincide con el quíntuplo del número de juveniles. Determina el número de atletas quehay en cada categoría.
Solución
Llamamos: x al número de atletas infantiles, y al número de atletas cadetes, z al número de atletas juveniles
Se verifica [pic][pic][pic]
 
[pic][pic][pic][pic][pic] x =15, sustituyendo se obtiene y = 29, y =6
 
Nota. También lo podríamos resolver aplicando el método de Gauss
Se trata de conseguir una matriz escalonada de más fácil resolución ..
La matriz es[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]....
 
[pic][pic][pic]
 
Comprobar el resultado.
2. Encuentra los valores de a para que la siguiente matriz, A,  no sea inversible y halla la inversa para a =1 [pic]
Solución
Para que no sea inversible el determinante debe dar 0.
[pic][pic]7a-21=0 [pic]a =3
 
 
Calculamos la inversa para a =1, si a =1 el valor del determinante es -14.
Se calcula laadjunta de A,  Adj A =[pic] , se traspone, (Adj A)’ =[pic]y por último dividimos por el determinante de A, [pic][pic]
 
Comprobar el resultado multiplicando A por su inversa, A-1,( A.A-1 =I).
3. Calcula la matriz X tal que  XA-2B =C,  donde [pic], [pic] y [pic]
Solución
XA-2B =C [pic]XA =2B+ C [pic] XA =[pic][pic]= [pic];             X[pic]=[pic]
 de donde X =[pic][pic]=* [pic]
 
*lainversa comprueba que es A-1=[pic], por el método que prefieras.
4. Discute y resuelve el sistema en los casos posibles
[pic]
 
Solución
Como el parámetro k solo está en una ecuación y en la z, el método de Gauss en este caso nos parece el más conveniente.
Cambiamos el orden de las ecuaciones para más sencillez
[pic]            [pic]         [pic]           
 
[pic]                [pic], q yaes escalonado: [pic]
 
 
Discusión
Si k-2 distinto de cero, es decir si k distinto de 2, el sistema es compatible determinado (solución única)
Si k-2=0, es decir k =2, quedaría 0z=2, y el sistema sería incompatible.
Resolvemos para k distinto de 2: [pic]de aquí [pic],
 
 
Resolviendo de abajo a arriba,
 
[pic]
 
y =-3-[pic]=[pic]
 
[pic]
 
(Comprobar los resultados haciendo elejercicio usando la regla de Cramer)
 
5. En cierta heladería  por una copa de la casa, dos horchatas y cuatro batidos te cobran 34   un día. Otro día por 4 copas de la casa y 4 horchatas te cobran 44 €, y un tercer día te piden 26 € por una horchata y 4 batidos. ¿Tienes motivos para pensar que alguno de los tres días te han presentado una cuenta incorrecta?
Solución
Planteamiento:
Llamamos x alprecio de la copa de la casa
             y  al precio de la horchata
             z  al precio del batido
Se tiene:
x +2y+ 4z=34
4x+ 4y     =44, simplificando  x + y = 11   (1 )
        y +4z=26
Si restamos las ecuaciones 1ª y 3ª se tiene:
x +y = 8 por lo que el sistema es incompatible  (ver 1)
6. a) Calcula la inversa de la matriz A =[pic],    comprueba el resultado.
 
b) Resuelve laecuación matricial  XA – C = 2 B, donde:
A =[pic],    B =  [pic],    C =[pic][pic]
 
Solución
Primero calculamos el determinante de A para comprobar que en efecto existe la inversa.  
[pic]=-1, es distinto de 0, luego hay inversa.
Después calculamos la matriz adjunta de A, cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de A
A11=[pic]; A12=(-1)1+2[pic]..............., es decir
Adj A=[pic], después trasponemos la matriz adjunta
(Adj, A)t= [pic], y por último dividimos por el determinante. Nos queda:
A-1= [pic]= [pic]
 
Para comprobar el resultado, multiplicamos por la matriz A (en ambos sentidos) y nos tiene que dar la identidad:
A-1.A=[pic].[pic]= [pic](Comprobarlo en el otro sentido)
 
b) Se tiene:
XA =2B+ C, como la matriz A tiene inversa (apartado a)), multiplicamos...