Ejercisios analisis matematico uba

Análisis I – Matemática I – Análisis II (C) – Análisis Matemático I (Q)
Primer Cuatrimestre - 2014

Práctica 1: Preliminares

1. Resolver las siguientes inecuaciones:
a) |x + 3| < 1

b) |3x −1| < |x − 1|

d) |x| > |x + 3|

e)

c) |x − 3| ≥ 1

x−2
≤1
3x + 1

2. Representar los siguientes conjuntos en R:
a) {x : |x − 1| < 1, x ∈ Z}
/

b) {x : |x − 3| < |2 − x|}

c) {x : 0< x2 ≤ x3 }

3. Representar los siguientes conjuntos en la recta real:
(a) A = {x ∈ R : |x + 3| + |x − 9| > 2};
(b) B = {x ∈ R : |x + 2| − |x − 1| < 1};
(c) C = {x ∈ R : |x3 − 1| + |2 − x3 | =1}.
4. Sea a ≥ 0. Determinar para qué valores de b se verican cada una de las siguientes
condiciones:
a) |a + b| = |a| + |b|

b) |a + b| < |a| + |b|

c) |a − b| = |a| + |b|

d) |a − b| < |a|+ |b|

e) |a| − |b| = |a − b|

f ) |a| − |b| < |a − b|

1
5. Sean a y b nï¾ 2 meros reales. Decidir para qué valores de a y de b son válidas cada
una de las siguientes armaciones

a) a < a2b) a < b ⇒ a2 < b2

c) a > 0 ⇒ ab ≥ b.

d) a + b ≥ max{a, b}

6. Sean 0 ≤ x ≤ y . Probar que x ≤

√
xy ≤

1

x+y
2

≤ y.

Análisis I – Matemática I – Análisis II (C)

Práctica1

7. (a) Mostrar que los siguientes conjuntos no están acotados superiormente:
i. R>0 ;
ii. {n ∈ N : ∃m ∈ N con n = m2 }.
(b) Mostrar que los siguientes conjuntos no están acotadosinferiormente:
i. Z;
ii. {x−1 : x < 0};
iii. Im(f ) donde f (x) = −x2 + 2x + 1.
8. Determinar si los siguientes conjuntos poseen supremo, ï¾ 1 nmo, máximo y mï¾ 1 nimo.
2
2
En caso de poseerlos,calcularlos:
n

1
a) A = { n : n ∈ N y 20 < n ≤ 35}

b) A = { (−1) : n ∈ N}
n

1
c) A = { n2 : n ∈ N}

2n
d) A = { 7n−3 : n ∈ N}

9. (a) Considerar el conjunto A = {a ∈ Q : a2 < 2} ⊂ R. Calculesu supremo y
concluya que A no tiene máximo.
(b) Dado el conjunto B = {a ∈ Q>0 : a2 > 2} ⊂ R, calcule su ínmo y concluya
que B no tiene mínimo.
10. Calcular
√

2

n
a) sup { 2n : n ∈ N}...