Ejerpruebaicalycal1

EJERCICIOS DE PRUEBAS DE I. AL
CALCULO Y CALCULO I

Herme Soto Segura

2003

Cap´ıtulo 1

Ejercicios
1.1

Ejercicios de pruebas

1. Dada la funci´on:
f (x) = |x + 1| + |2x − 1|
Determine
(a) DomF , Recf
(b) Gr´afica de f
(c) A = {x/f (x) ≤ 3}
2. Dada la funci´on
π
f (x) = 2sen( x + π)
2
Determine:
Amplitud , desplazamiento lateral (´angulo de fase), desplazamiento
vertical , peri´odo ,frecuencia y gr´afica de f .
1

2

Cap. 1: EJERCICIOS
3. Dadas las funciones

f (x) = Ln(1 −

2 − 4x2 ), g(x) =

x−4
x+5

Determine, justificando su respuesta,
(a) Dom f, Dom g
(b) (f ◦ g)(4), (g ◦ f )( √12 )
4. Resuelva las ecuaciones:
(a) Log(x2 − 9x + 18) − Log(2x − 9) = 2 − Log(50)
(b) 3 · 2x−1 + 4x = 1
5. Resuelva:
(a) (3x)x = x2x
(b) sen x + cos x = 1 + sen 2x , en [0, 2π]
1
(c) Ln(( )x − 1) < 0
26. Demuestre la identidad trigonom´etrica
cos 2α
π
= ctg( − α)
1 − sen 2α
4
7. Un cuerpo en una habitaci´on a 60o F se enfria de 200o a 120o en
media hora. Si su temperatura T (t) despu´es de t minutos est´a dada
por T (t) = 60 + 140e−kt .
(a) Determine el valor de la constante k
(b) Hallar el tiempo necesario para que la temperatura sea de
90o F .

1.1

Ejercicios de pruebas

3

8. Una companiade televisi´on por cable tiene 1000 suscriptores, los
cuales pagan $6000 al mes. Puede obtener 40 suscriptores m´as por
cada $ 120 que disminuya la cuota mensual. ¿Qu´e cuota mensual
producir´a ingresos m´aximos y cu´ales seer´an esos ingresos? ¿Cu´antos
suscriptores tendr´ıa con esa nueva cuota?.
9. Dos ciudades A y B van a tener un abastecimiento de agua en un
rio recto que est´a a 15 Km. de laciudad A y a 10Km. de la
ciudad B. Si los puntos sobre el rio m´as cercanos a A y B est´an
separados por 20 Km. y A y B est´an al mismo lado del rio. ¿D´onde
debe estar localizada la estaci´on de bombeo para que se necesite la
menor cantida de tuberia.?
10. Encuentre la ecuaci´on de la recta tangente a la curva
ycos x + xcos y = 1
en el punto donde la curva corta el eje y.
11. Resuelva lasdesigualdades:
(a)

(b)

(c)

1
2
≤
x−1
2x + 3
x2

x+5
≤0
− 7x + 12

2
≥5
|2x + 3|

12. Considerar la funci´
on y =
(a) Hallar dominio

1 + x2
x+1

4

Cap. 1: EJERCICIOS
(b) Calcular puntos extremos (m´aximos o m´ınimos)
(c) Determinar intervalos de monoton´ıa y concavidad
(d) Encontrar as´ıntotas y puntos de inflexi´on.

13. Hallar los valores de las constantes a, b, c tales que
f (x) = ax3 + bx2 + cx +d
tenga un m´ınimo relativo en (0, 0) y un m´aximo relativo en (2, 2).
14. Hallar los siguientes l´ımites:
(a) lim (ex + x)1/x
x→o+

(b) lim

x→1

(c)

lim

x→1+

3
2
−
ln x x − 1

x
1
−
x − 1 ln x

15. Trazar la gr´afica de una funci´on continua f que satisfaga todas
las condiciones dadas: f (0) = 2, f (2) = f (−2) = 1, f (0) =
0, f (x) > 0 si x < 0, f (x) < 0, si x > 0, f (x) < 0 si |x| < 2,
f(x) > 0 si |x| > 2.
16. Calcule los limites:
(a) lim (1 + sen x)csc x
x→0

x2 − |x − 1| − 1
x→1
|x − 1|

(b) lim

17. (a) Hallar los valores de las constantes a y b de modo que se tenga
x2 + 1
− ax − b = 0.
x→∞ x + 1
lim

1.1

Ejercicios de pruebas

5

(b) Dibuje la gr´afica de una funci´on real f que cumpla con todas
las condiciones siguientes:
Sea discontinua en x = −1, x = 0, x = 2. lim f (x)= 3,
x→0

lim f (x) no existe, lim f (x) = 0, lim f (x) = ∞, lim f (x) =

x→2

x→−1+

x→−1−

x→−∞

0,y lim f (x) = 1.
x→∞

18. Dada la funci´on f (x) = x +

1
. Determine:
x+1

(a) Dom f
(b) M´aximos y/o minimos
(c) Intervalos de monotonia
(d) Puntos de inflexi´on e intervalos de concavidad
(e) Asintotas
(f) Gr´afica de f .
19. Calcule la derivada que se indica:
(a) Hallar y , si y =

(b) Hallarx2 + 1
xsen(1 − x2 )

√
√
dy
4
si y = (arcsen(t3 ))t +t , x = 3 t + cos( π)
dx

(c) Hallar la ecuaci´on de la recta tangente a la elipse

x2
+ y 2 = 1,
4

√

en el punto (1,

3
2 ).

20. Si 2x − 1 ∈ (1, 3) y S = {y ∈ IR/y =
superiores e inferiores, supS, inf S.
21. Resuelva las desigualdades:

4
}. Determine: Cotas
7 − 2x

6

Cap. 1: EJERCICIOS
(a) 2 −

1
+x≥4−x
x

1
(b) ln(( )x − 2) < 2
2
(c)...