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 VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCION

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta algirar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.



Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma seaproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es πR2w, la suma de Riemann asociada a la partición, y
que da un volumen aproximado del sólido es:
n
V = Lim∑πf 2(ci)(xi − xi−1)
n→∞ i=1
Fórmula del volumen por discos

Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:

b 2
V =aπ(f (x)) dx

si se toma el eje de revoluciónverticalmente, se obtiene una fórmula similar:

d 2
V =c π(f (y)) dy



COMO HALLAR VÓLUMENES POR EL MÉTODO DEL DISCO (O
ARANDELA)

1. Dibujar la región y trazar sobre esta un segmentoque sea PERPENDICULAR al eje de rotación. La región al hacerla girar alrededor del eje de rotación generará una sección transversal típica en forma de disco o arandela dependiendo el caso.
2. Hallar:para el caso del disco el radio principal y para el caso de la arandela los radios interno y externo.
3. Establecer los límites de integración.
4. Por último integrar para hallar el volumendeseado.



EJEMPLO 1: La región entre la curva y=x, 0≤ x ≤25 y el eje x se gira alrededor del eje x para generar un sólido.
Hallar su volumen.

SOLUCION:

1. TRAZO DE LA REGIÓN Y DE LA SECCIÓNTÍPICA. Abajo se muestra la región R pedida:




2. EXTRACCIÓN DEL RADIO PRINCIPAL: Es claro que el método a utilizar es el método de los discos. Luego, la distancia del segmento r (radioprincipal) es f, es decir:
r = x .

3. LIMITES DE INTEGRACIÓN: Estos límites nos lo fueron dados en el enunciado del ejemplo: 0≤ x ≤25.

4. FORMULACION DE LA INTEGRAL: Aplicando la expresión...