el agua potable

DERIVADAS PARCIALES
Introducción:Para las funciones de una variable: f:R→R, definidas en el intervalo I de ℝ, se ha definido la derivada de f en x_o ϵ I, denotada por f'(x_o)como el valor del límite de la función incrementada menos la función propiamente dicha sobre el incremento cuando el incremento tiende a cero, es decir:
f^' (x_o )=〖lim〗┬(h→0)⁡〖(f(x_o+h)-f(x_o))/h〗

Si 〖f'(x〗_o)existe,su valor nos da la pendiente de la recta tangente de la gráfica de la función y=f(x)en el punto (x_o,f(x_o )), el signo de la derivada nos habla del crecimiento y/o decrecimiento de la función alrededor de un punto, de la presencia de extremos, etc. De la misma forma para una función de varias variables se mantiene la definición pero ahora respecto a cada variable en este sentido se tendrá tantasprimeras derivadas como variables tenga la función, debido a esto el nombre de parcial.
Definición: Para una función de dos variables se definen y denotan las primeras derivadas de la siguiente forma:
Sea: f=f(x,y)función de dos variables presentará dos primeras derivada:
f_x=∂f/∂x=∂/∂x f(x,y)=〖lim〗┬(∆x→0)⁡〖(f(x+∆x,y)-f(x,y))/∆x〗
Primera derivada parcial de la función respecto de “x”f_y=∂f/∂y=∂/∂y f(x,y)=〖lim〗┬(∆y→0)⁡〖(f(x,y+∆y)-f(x,y))/∆y〗
Primera derivada parcial de la función respecto de “y”
La definición de derivada parcial dada indica que si z=f(x,y)entonces para calcular la primera derivada parcial de la función respecto de “x” consideramos que “y” es constante y derivamos con respecto de “x” utilizando las mismas reglas y tablas de derivación de funciones de una sola variable,en forma similar calculamos la primera derivada parcial de la función respecto de “y” asumimos que “x” es constante y derivamos con respecto de “y”.
Para una función de tres variables tendremos: f=f(x,y,z)tres primeras primeras derivadas:
Primera derivada parcial de la función respecto de “x”
f_x=∂f/∂x=∂/∂x f(x,y,z)=〖lim〗┬(∆x→0)⁡〖(f(x+∆x,y,z)-f(x,y,z))/∆x〗
Primera derivada parcial de lafunción respecto de “y”
f_y=∂f/∂y=∂/∂y f(x,y,z)=〖lim〗┬(∆y→0)⁡〖(f(x,y+∆y,z)-f(x,y,z))/∆y〗
Primera derivada parcial de la función respecto de “z”
f_z=∂f/∂z=∂/∂z f(x,y,z)=〖lim〗┬(∆z→0)⁡〖(f(x,y,z+∆y)-f(x,y,z))/∆z〗
La definición de derivada parcial dada indica que si w=f(x,y,z)entonces para calcular la primera derivada parcial de la función respecto de “x” consideramos a “y” y “z”como constantes yderivamos con respecto de “x” utilizando las mismas reglas y tablas de derivación de funciones de una sola variable, en forma similar calculamos la primera derivada parcial de la función respecto de “y” asumimos que “x” y “z” son constantes y derivamos con respecto de “y” y lo propio para la primera derivada parcial respecto de “z” derivamos respecto de esta variable tomando a “x” y “y” como constantes.Ejem. 1 Mediante tablas de derivación, hallar las primeras derivadas de las siguientes funciones:
Derivadas de Orden Superior:En forma similar que las derivadas ordinarias, es posible hallar derivadas parciales de una función de varias variables de segundo, tercer orden y superiores, siempre y cuando tales derivadas existan. Al igual que en el cálculo diferencial de funciones de una solavariable las derivadas de orden superior son las derivadas de las derivadas pero esta vez de la variable en cuestión.
Para una función de dos variablesf=f(x,y) tenemos:
Segundas derivadas:
Segundad derivada parcial de la función respecto de “x” dos veces:
f_xx=(∂^2 f)/(∂x^2 )=∂^2/(∂x^2 ) f(x,y)=∂/∂x (∂f/∂x)=∂/∂x (∂/∂x f(x,y))
Segunda derivada parcial de la función respecto de “x” primero y luegorespecto “y”:
f_xy=(∂^2 f)/∂y∂x=∂/∂y (∂f/∂x)=∂/∂y (∂/∂x f(x,y))
Segundad derivada parcial de la función respecto de “y” primero y luego respecto “x”:
f_yx=(∂^2 f)/∂x∂y=∂/∂x (∂f/∂y)=∂/∂x (∂/∂y f(x,y))
Segundad derivada parcial de la función respecto de “y” dos veces:
f_yy=(∂^2 f)/(∂y^2 )=∂^2/(∂y^2 ) f(x,y)=∂/∂y (∂f/∂y)=∂/∂y (∂/∂y f(x,y))
Terceras Derivadas: (escribir cada una de la misma...