El amanecer de los vivos

Espacios vectoriales

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En el estudio de las matrices y, en particular, de los sistemas de ecuaciones lineales realizamos sumas y multiplicación por escalares con un tipo especial de matrices, las de orden nx1. Abusando del lenguaje y la notación establecimos la correspondencia:
 x1  x2  .  .  . .   xn        

(x 1, x 2 , . . . . , x n )

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n Es decir, aceptamos que Mnx 1( ℜ ) ≅ ℜ , con el fin de aprovechar la familiaridad que se tiene con los espacios

ℜ2 y ℜ3 .

En este capítulo estudiaremos conjuntos que n poseen propiedades algebraicassimilares a ℜ . A dichos conjuntos se les dará el nombre de espacios vectoriales y a sus elementos el nombre de vectores. En lo que sigue κ designará al cuerpo ℜ de los números reales o al cuerpo C de los números complejos.

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Espacios y subespacios vectoriales
Un espacio vectorial sobre elcuerpo de objetos V con dos operaciones: (1) + : V x V V ; (u, v)

κ

es un conjunto u+v

que es asociativa, conmutativa, posee elemento neutro (cero) y cada elemento posee un inverso. (2) p:

κxV

V ; (α , v)

α⋅ v

que satisface lo siguiente:

i) α (β v ) = ( αβ )v ; ∀ α, β ∈ κ; ∀ v ∈ V ii) ( α + β )v = α v + β v; ∀ α, β ∈ κ; ∀ v ∈ V iii) α (u + v ) = α u + α v; ∀ α ∈ κ; ∀ u, v∈ V iv ) 1 ⋅ v = v; ∀ v ∈ V, con 1 elemento unidad de κ
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Los elementos de V se llaman vectores y los de κ escalares. Si κ = ℜ , se dice que V es un espacio vectorial real. Si κ = C , el espacio vectorial V se dice complejo. En cualquier espacio vectorial V sobre

La operación (1) es internaen V; se llama suma o adición. La operación (2) es externa y se llama multiplicación por escalar o ponderación.

κ

se tiene que:

a) b) c) d)

0 ⋅ v = 0 , ∀v ∈ V α ⋅ 0 = 0, ∀α ∈ κ α ⋅ v = 0 ⇒ (α = 0 (-1) ⋅ v = − v, ∀v ∈ V ∨ v = 0)

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Ejemplos de espacios vectoriales (1) Para nnúmero natural, sea (n veces), es decir,

ℜn = ℜ × . . . . × ℜ

ℜ

ℜn = { ( x1, . . . . . , x n ) / x i ∈ ℜ, ∀i = 1, . . . . , n } n con las operaciones siguientes:

( x1, . . . . , x n ) + (a1, . . . . , a n ) = ( x1 + a1, . . . . , x n + a n ) α ( x1, . . . . , x n ) = ( α x1, . . . . , α x n ) , α ∈ ℜ

es un espacio vectorial real. En consecuencia, sobre sí mismo.

ℜ

es unespacio vectorial

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El espacio vectorial real

ℜ2

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El espacio vectorial real

ℜ3

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Suma en

ℜ3
Ponderación en

ℜ3
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(2) No sólo ℜ es un espacio vectorial sobre ℜ . Si IK es un cuerpo, IK es un espacio vectorial sobre si mismo. En este caso, la ponderación coincide con la multiplicación del cuerpo IK. En consecuencia, C (números complejos) es unespacio vectorial complejo. Pero C también es un espacio vectorial real si se considera la ponderación: α ( a + bi ) = α a + α bi , α ∈ ℜ (3) Para m , n ∈ IN , el conjunto M mxn ( ℜ ) de las matrices reales de orden mxn, con las operaciones suma y multiplicación habituales de las matrices, es un espacio vectorial real. (4) El conjunto ℜ [ x ] de los polinomios en x con coeficientes reales,...