el amor

Instituto de Estudios Superiores De Tamaulipas

Daniel Hernández Trejo

ID: 13967

Trabajo Final de Matemáticas Superiores


MTRO. José Juventino Arias Lopez









Números complejos: Son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como , siendo el conjunto de losreales se cumple que . Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario.

Representación geométrica de un número complejo.
Sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Su expresión en forma cartesiana es
z = (a,b). Consideremos el plano euclídeoreal R2, y en él un sistema de referencia ortonormal. A cada número complejo z = a + b·i le hacemos corresponder un punto del plano P(a,b); y recíprocamente, dado ese punto del plano le asociamos el complejo z = a + b·i. Tenemos pues una biyección entre el plano euclídeo real R2 y el cuerpo de los núneros complejos C.
El punto del plano P(a,b) correspondiente al complejo z = a + b·i recibe elnombre de afijo de z. El ángulo que forma el vector OP con el eje de abcisas recibe el nombre de argumento de z.
Además, el módulo del vector OP es:
|OP| = (a2 + b2)1/2 = |z|
que coincide con la distancia del punto P al origen de coordenadas.
Sea r = |z|. Si x es su argumento, se tiene que:
sen x = PA/OP = b/r ==> b = r·sen x
cos x = OA/OP = a/r ==> a = r·cos x
Luego podernos escribir z = a+ b·i = r·cos x + i·r·sen x = r·(cos x + i·sen x)

Los números complejos se escriben típicamente en la forma donde está a la parte real y el bi es la partición imaginaria. se pueden también escribir o





Números Imaginarios: En matemáticas, un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero, por ejemplo: es un número imaginario, así como o son también númerosimaginarios. En otras palabras, es un número de la forma:

Un número imaginario puede describirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1:
[1] [2] [3]


Plano Complejo: En matemáticas, el plano complejo es una forma de visualizar el espacio de los números complejos. Puede entenderse como un plano cartesiano modificado, enel que la parte real está representada en el eje x y la parte imaginaria en el eje y. El eje x también recibe el nombre de eje real y el eje y el nombre de eje imaginario.














Plano Conjugado: En matemáticas el conjugado de un número complejo se obtiene cambiando el signo de su componente imaginaria. Por lo tanto, el conjugado de un número complejo

(donde y son númerosreales) es

El conjugado es a menudo indicado como . Aquí, se utiliza la notación para evitar confusiones con la notación utilizada para indicar la transpuesta conjugada de una matriz (que puede pensarse como una generalización del conjugado de un número). Notar que si el número complejo es tratado como una matriz , las notaciones son idénticas.
Por ejemplo,Plano Modulo: En álgebra conmutativa, y geometría algebraica, un módulo plano sobre un anillo R es un R-módulo M tal que se preserva sucesiones exactas al tomar el producto tensorial sobre R con M. Un módulo es fielmente plano si al tomar el producto tensorial se produce una sucesión exacta si y sólo si la sucesion original es exacta.
Los espacios vectoriales sobre un un campo son módulos planos.Los módulos libres, o más generalmente los módulos proyectivos, son planos sobre cualquier R. Para módulos finitamente generados sobre un anillo local noetheriano, las propiedades de ser proyectivos, planos y libres son equivalentes.
Existen muchas maneras para definir a los módulos planos sobre un anillo conmutativo R.
Un R-módulo plano es un R-módulo M tal que el funtor

es exacto, donde...