El amor

NUMEROS NATURALES

El conjunto de los números naturales contiene clases simbolizadas por cifras que expresan el número de elementos que contiene un conjunto dado. Por ejemplo, el número natural 4 representa a un conjunto formado por cuatro elementos.

El conjunto de los números naturales se denota por N = {1, 2, 3, 4, ...}. En sentido estricto, este conjunto no contiene al cero; si se quiereincluir este elemento en el conjunto, se denota por N* = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.

Entre los números naturales no se contemplan los valores negativos. Por tanto, este conjunto puede interpretarse intuitivamente como aquel que sirve para contar. En él pueden definirse operaciones de suma, resta, multiplicación y división, así como relaciones de orden (mayor que, menor que).

ENTEROS

De formaintuitiva, puede decirse que el conjunto de los números enteros es el formado por los elementos siguientes: {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}. Este conjunto se denota por Z, e incluye como subconjunto al de los números naturales; es decir: N Ì Z.

En sentido estricto, un número entero se define como una clase de equivalencia del conjunto de pares de la correspondencia N x N, de manera que acada par de elementos (n1, n2) le hace corresponder un número entero z definido como z = n1 - n2. Por ejemplo, los pares (1,3), (2,4), (14,16), (20,22), etc., son equivalentes y corresponden a una misma clase de equivalencia representada por el número entero -2.

Representación de los números enteros
El conjunto Z de los números enteros se representa comúnmente como una serie de valores discretosmarcados sobre una recta. Así, los números enteros no llenan la recta, sino que entre ellos existen infinitos puntos que no pertenecen al conjunto Z.

En esta distribución, se dice que, dados dos números enteros n y m, n es mayor o igual que m (n ³ m) si n - m es un número entero positivo o cero. En virtud de ello, el de los números enteros es un conjunto ordenado.

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Representacióngráfica del conjunto Z.

Operaciones con números enteros
En el conjunto de los números enteros se definen habitualmente dos operaciones o leyes de composición, llamadas suma y producto. Dados dos números enteros a 5 (a1, a2) y b 5 (b1, b2), la suma se define como:

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Por ejemplo, la suma de 4 y (21) puede escribirse como: (4) + (-1) = (5, 1) + (3, 4) = (8, 5) = 3. Por su parte, el productose obtiene como:
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Así, el producto de 4 por (-1) se calcularía como: (4) × (-1) = (5, 1) × (3, 4) = =(5 × 3 + 1 × 4, 5 × 4 + 1 × 3) = (19, 23) = 24.

Tabla de signos en el producto de números enteros
(+) × (+) = +
(+) × (-) = -
(-) × (+) = -
(-) × (-) = +

Números primos
Se llama primo a todo número entero cuyos únicos divisores son él mismo, su opuesto y la unidad; los númerosno primos se denominan compuestos. El estudio de los números primos ha constituido desde antiguo una fascinante rama de las matemáticas, no sólo interesante como un juego matemático, sino también por sus implicaciones científicas. Los números primos menores que 100 son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

Múltiplos ydivisores
En el conjunto de los números enteros, se dice que un número n es divisor de otro m, y se escribe n | m, si existe un entero q tal que n × q = m. También se dice entonces que n divide a m, o que m es múltiplo de n o es divisible por n. Por ejemplo, 4 es divisor de (-12), ya que 4 × (-3) = (-12) y -3 es un número entero.

Según las reglas de la divisibilidad, cabe distinguir dos clasesgenéricas de números enteros:

• Números primos: son aquellos distintos de la unidad que sólo admiten como divisores a él mismo, a su opuesto y a la unidad.
• Números compuestos: son todos los restantes.

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
Dados dos o más números enteros, el máximo común divisor (m. c. d.) de todos ellos es el...