El arte de la guerra

La covarianza de una variable bidimensional es la media aritmética de los productos de las desviaciones de cada una de las variables respecto a sus medias respectivas.
La covarianza se representa por sxy o σxy.

La covarianza indica el sentido de la correlación entre las variables
Si σxy > 0 la correlación es directa.
Si σxy < 0 la correlación es inversa.
La covarianza presenta comoinconveniente, el hecho de que su valor depende de la escala elegida para los ejes.
Es decir, la covarianza variará si expresamos la altura en metros o en centímetros. También variará si el dinero lo expresamos en euros o en dólares.

Ejemplos
Las notas de 12 alumnos de una clase en Matemáticas y Física son las siguientes:
Matemáticas | 2 | 3 | 4 | 4 | 5 | 6 | 6 | 7 | 7 | 8 | 10 | 10 |Física | 1 | 3 | 2 | 4 | 4 | 4 | 6 | 4 | 6 | 7 | 9 | 10 |
Hallar la covarianza de la distribución.
xi | yi | xi · yi |
2 | 1 | 2 |
3 | 3 | 9 |
4 | 2 | 8 |
4 | 4 | 16 |
5 | 4 | 20 |
6 | 4 | 24 |
6 | 6 | 36 |
7 | 4 | 28 |
7 | 6 | 42 |
8 | 7 | 56 |
10 | 9 | 90 |
10 | 10 | 100 |
72 | 60 | 431 |
Después de tabular los datos hallamos las medias aritméticas:

Los valores de dosvariables X e Y se distribuyen según la tabla siguiente:
Y/X | 0 | 2 | 4 |
1 | 2 | 1 | 3 |
2 | 1 | 4 | 2 |
3 | 2 | 5 | 0 |

Hallar la covarianza de la distribución.
En primer lugar convertimos la tabla de doble entrada en tabla simple y calculamos las medias aritméticas.
xi | yi | fi | xi · fi | yi · fi | xi · yi · fi |
0 | 1 | 2 | 0 | 2 | 0 |
0 | 2 | 1 | 0 | 2 | 0 |
0 | 3 | 2| 0 | 6 | 0 |
2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 |
2 | 2 | 4 | 8 | 8 | 16 |
2 | 3 | 5 | 10 | 15 | 30 |
4 | 1 | 3 | 12 | 3 | 12 |
4 | 2 | 2 | 8 | 4 | 16 |
  |   | 20 | 40 | 41 | 76 |

Definición de mediana
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.
La mediana se representa por Me.
La mediana se puede hallar sólo para variablescuantitativas.
Cálculo de la mediana
1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5
3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5
Cálculo de la mediana para datos agrupados
La medianase encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre .

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.
Ejemplo
Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
  | fi | Fi |
[60, 63) | 5 | 5 |
[63, 66) | 18 | 23 |
[66, 69) | 42 | 65 |
[69, 72) | 27 | 92 |
[72, 75) | 8 | 100 |
  | 100 |   |
100/2 = 50
Clase de la mediana: [66, 69)
Definición de moda
La moda es el valor quetiene mayor frecuencia absoluta.
Se representa por Mo.
Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.
Hallar la moda de la distribución:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9,9, 9Mo= 1, 5, 9
Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4

Cálculo de la moda para datos agrupados
1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

Li es el límite inferior...