El Billar No Es Para Vagos

EL BILLAR NO ES PARA VAGOS

Carlos Bosch Giral ITAM

¿Qué es el billar?
Billar: del francés billard. Juego de g destreza que se ejecuta con tacos, bolas de marfíl en una mesa rectangular forrada de paño, rodeada de barandas elásticas y con troneras o sin ellas.

Definición de Serge Tabachnikov
Una mesa de billar es una variedad Riemanniana M con frontera suave a pedazos El sistemapedazos. dinámico del billar en M está generado por el movimiento libre de un punto donde se acumula la masa (llamada bola) sujeta a la reflexión en la ó frontera. Esto quiere decir que un punto se mueve según una geodésica en M con velocidad constante hasta que golpea la frontera. En un punto suave de la frontera la bola se refleja de manera que la correspondiente tangencial de la velocidad sea lamisma mientras que la normal cambia de signo.

Definición de Donald
Una mesa de billar es la unión de dos cuadrados donde el rebote de la bola es tal que el ángulo de entrada y el de salida son iguales.

1800 juego de dos personas 1900 se admiten más de dos personas Tres juegos p j g principales p El billar con tres bolas La pirámide con 15 bolas rojas sin número El pool número variableusualmente 15 bolas con número, una bola sin número El pool adquiere el nombre de la forma de apostar

El billar es un juego antiguo Shakespeare h bl d l bill en “A t i y Sh k habla del billar “Antonio Cleopatra” 1607 Llegó a Inglaterra a través de los caballeros que regresaban de las cruzadas. La primera evidencia que se tiene del billar es en Francia siglo XV Carlos IX de Francia y James I deInglaterra en el siglo XVI tenian mesas de billar en sus palacios palacios. En América la primera mesa de billar apareció en Florida llevada por los españoles en 1565 p p

Los números y los billares
Patente US 2,978,816 11 de abril de 1961 Andrés Zavrotsky Universidad de los Andes Venezuela Aparato óptico para calcular el máximo común divisor di i Tomaremos mesas de distintos tamaños
11 10 9 8 7 65 4 3 2 45° 0 1 2 3 4 5 1 0 9 8 7 6 5 4 3 2 45° 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

Máximo común divisor
De
6 3 1 2 3 1

6
9 3 1

y
3 3 1

9
6= 2 X 3 9= 3 X 3 mcd (6,9)=3

De
342 171 57 19 1 2 3 3

342

y

243
3 3 3 3 3 1 9= 3 X 3 mcd (342,243)=9 ( ) 81 27 9 3 1

3 243

19 1

H. Steinhaus probó que no importa cuales son las dimensiones d la l l di i de l mesa si una bolaempieza en un vértice con un ángulo de 45° é á después de un número finito de rebotes llegará a alguno de los otros vértices. Pregunta ¿Qué vértice de los tres restantes es el que tocará la bola?

4563

5802 5

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0

1

2

3

4

5

9 8 8 7 7 6 6 5 5

impar
4

par

4 3

3 2 2 1 1 0 0 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

impar

impar

1211 10 7 9 8

6

5 7 4 6 3 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4

2

1

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

par

par

Máquina de Zavrotsky
Se envía un rayo de luz a 45° partiendo del origen, el rayo p después de un número finito de “rebotes” llegará a uno de los g , vértices del rectángulo, entonces habrá sobre el lado más largo un punto iluminado A que es el más cercano al origen. Calcular la distancia deOA Representa el doble del MÁXIMO COMUN DIVISOR Á

6

0 6 0 A 9

3

0
0 A 8

A

5

P

A

Q

N

M

6

2mcd(a,b)=min{d:d=2am+2an 2mcd(a b)=min{d:d=2am+2an tal que m,n Z y d>0}

∈

0

A

8

Problemas de mínimos-máximos
d(P,Q) = distancia de P a Q Si P 1 y P 2 son fijos, P está en C una cu a sa curva lisa y L(P) = d(P 1 ,P) + d(P, P 2) ; ( ) , ) d( , L()alcanza un mínimo o un máximo en el punto P 0 de C entonces P 1 , P 0, P 2 es una trayectoria de billar con rebote en C
P0
P1
P2

P2
P 1

Observaciones (1) Si P y P2 son los focos 1 de una elipse una bola que sale de P pasa siempre por 1 P2 con un rebote de billar (2) d ( P , P) + d( P, P2) 1 constante SUPONGAMOS QUE EL Q REBOTE EN P0 NO ES UN REBOTE DE BILLAR Consideremos la familia de...