El Binomio De Newton

INTRODUCCIÓN:
Es una fórmula que nos permite calcular la potencia de cualquier número o binomio a cualquier exponente, pero cuyo exponente sea un número natural.
BINOMIO DE NEWTON
Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de exponente natural “n”, un binomio. Esto es la forma de obtener (a+b)n
Para ello veamos como se van desarrollando las potencias de (a+b)
(a+ b)1= a + b
(a + b)2= a2 + 2ab + b2
(a + b)3= (a + b)2 (a + b) = (a2 + 2ab + b2) (a + b)
(a + b)4= (a + b)3 (a + b) = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 64 1
Esto es el triángulo de Tartalgia que se obtiene escribiendo en filas los números combinatorios desde los de numerador 1.
O sea que cada uno de esos números corresponde al valor de un número combinatorio así:

Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1, que los números que aparecen forman una fila simétrica, o sea el primero es igual al último, el segundo igual alpenúltimo, etc., y cada número es la suma de los dos que tiene encima.

Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un número combinatorio cualquiera recordando que se calculan por la siguiente fórmula:

Por ejemplo si quiero calcular
Por otra parte, observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias de a empiezan elevadas a n,va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero. A los exponentes de b les ocurre lo contrario.
Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b), sus coeficientes serán la fila quinta del triángulo de Tartalgia.

Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton

Que también se puede escribir de forma abreviada así:

INTRODUCCION
Elprincipio de Inducción Matemática es un método que se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas.
Es un método simple que consta de tres pasos fundamentales en los cuales se debe demostrar la propiedad reemplazando su incógnita por 1, luego por k y finalmente por k+1.
Los pasos para desarrollar la Inducción Matemática se detallan en el contenido delpresente trabajo de investigación.
INDUCCION MATEMATICA
Sea P(n) una proposición que depende de la variable n, con n perteneciente a los Naturales.
Si: 1 satisface a P, k pertenece a los Naturales, k satisface P! (k+1) satisface P.
Entonces todos los números naturales satisfacen P.
Usaremos el Axioma de Inducción Matemática para demostrar la validez, en los Números Naturales, de ciertasproposiciones P que depende de una variable n, con n perteneciente a los Naturales.
Procederemos de la siguiente manera:
Verificaremos la proposición para el numero 1.
Supondremos que la proposición es verdadera para un numero natural cualquiera k. (Hipótesis de inducción).
Demostraremos la proposición para el numero natural (k+1).
Así, gracias al axioma de inducción Matemática, podemos concluir que laproposición la satisfacen todos los números naturales.
Ejercicios de inducción matemática:
1).-Demostraremos que:
1+2+3+............+n = n(n+1), “n” perteneciente a los naturales.
1= 1(1+1). Por lo tanto 1 satisface la proposición.
Supongamos valida la proposición para k perteneciente a los Naturales, es decir supongamos que:
1+2+3+.........+k = k (k+1). (Hipótesis de inducción).Demostremos que k - 1 también satisface la proposición, es decir, demostremos que:
1+2+3+.........+k+ (k+1) = (k+1) (k+2).
Demostración:
(1+2+3+.......+k)+ (k+1) = k (k+1) + (k+1)
= k (k+1) + 2(k+1)
= (k+1) (k+2)
Luego la proposición es verdadera “n” perteneciente a los naturales.
En resumen, primero demuestras reemplazando el n...