El borreguito luminoso

1
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Tarea 3. Algebra Superior I
´
Profesor: Angel V´zquez Badillo
a

Ayudante: Adriana Le´n Montes
o

Instrucciones. Entregar s´lo 8 preguntas.( Cuatro preguntas sobre Espacios
ovectoriales).
1. Resuelve.
a) Un matrimonio quiere invitar a sus amigos a cenar. Debido a las dimensiones de su casa s´lo puede invitar a 5 de cada vez. Si quieren invitar a
o
10 amigos. ¿De cu´ntasmaneras puede invitar a 5 de ellos?.
a
b) En una clase hay 10 ni˜os y 5 ni˜as.
n
n
a)¿De cu´ntas maneras puede escoger el profesor un grupo de 3 alumnos?
a
b)¿En cu´ntos grupos habr´ una sola ni˜a?a
a
n
c) ¿Cu´ntas ordenaciones pueden hacerse con la palabra MATEMATICAS
a
de modo que comiencen con una vocal y terminen con una consonante.
n

n

n

n

2. Sean n ∈ N. Demuestra que(n) + (n) + (n) + ⋯ + (n) = (2n)
0
1
2
n
n
3. Contaremos el n´mero de maneras distintas en las cuales k ∈ N caballeros que
u
pueden sentarse en la mesa redonde del Rey Arturo. Es importanterecordar
que en la mesa redonda no hab´ lugares distinguidos, es decir, que todos los
ıa
caballeros que se sentaban en la mesa ten´ el mismo estatus. Por lo tanto,
ıa
para cada caballero s´lo estamospreocupados por quienes esta sentado a su
o
derecha e izquierda, no en que lugar de la mesa se sienta.
a) Demuestra que el n´mero de maneras de sentar k caballeros en una mesa
u
redonda con klugares es (k − 1)!
b) Comprueba que hay 24 maneras de sentar 5 caballeros en una mesa redonda con 5 lugares.
c) Sea k < n. ¿Cu´ntas mesas redondas con k lugares distintas pueden fora
mar?
4.Demuestra que :
a) Sean A y B conjuntos finitos de cardinalidad m y n respectivamente.
Entonces n ≤ m si y solo si existe una funci´n sobre f A → B
o
b) Por inducci´n. 1! ⋅ 1 + 2! ⋅ 2 + ⋯ + k! ⋅ k = (k +1)! − 1
o
5. Demuestra que :
a) Sean A y B conjuntos finitos. Entonces A ∪ B = A + B − A ∩ B

2
b) Por inducci´n.
o

1
1(2)

+

1
2(3)

+

1
3(4)

+⋯+

1
n(n+1)

=

n...