El calculo

1.1 CALCULO INTEGRAL
El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la diferenciación, llamado integración. Dada una función f, se busca otra función F tal que su derivada es F¢ = f; F es laintegral, primitiva o antiderivada de f, lo que se escribe F(x) = òf(x)dx o simplemente F = òf dx (esta notación se explica más adelante). Las tablas de derivadas se pueden utilizar para laintegración: como la derivada de x2 es 2x, la integral de 2x es x2. Si F es la integral de f, la forma más general de la integral de f es F + c, en donde c es una constante cualquiera llamada constante deintegración; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que (F + c)¢ = F¢ + c¢ = f + 0 = f. Por ejemplo, ò2x dx = x2 +c. Las reglas básicas de integración de funciones compuestas sonsimilares a las de la diferenciación. La integral de la suma (o diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus integrales, y lo mismo ocurre con la multiplicación por una constante. Así, la integralde x = ½•2x es ½x2, y de forma similar òxm dx = xm+1/(m + 1) para cualquier m ¹ -1 (no se incluye el caso de m = -1 para evitar la división por 0; el logaritmo neperiano ln|x| es la integral de x-1 =1/xpara cualquier x ¹ 0). La integración suele ser más difícil que la diferenciación, pero muchas de las funciones más corrientes se pueden integrar utilizando éstas y otras reglas (ver la tabla). Unaaplicación bien conocida de la integración es el cálculo de áreas. Sea A el área de la región delimitada por la curva de una función y = f(x) y por el eje x, para a £ x £ b. Para simplificar, seasume que f(x) ³ 0 entre a y b. Para cada x ³ a, sea L(x) el área de la región a la izquierda de la x, así es que hay que hallar A = L(b). Primero se diferencia L(x). Si h es una pequeña variación en lax, la región por debajo de la curva entre x y x + h es aproximadamente un rectángulo de altura f(x) y anchura h(véase figura 3) el correspondiente incremento k = L(x + h) – L(x) es por tanto,...