El Campo De Los Números Reales

Los números enteros
Los números enteros pueden representarse como puntos en la recta. Para ello, seleccionamos un punto para representar al  y otro para representar el , que normalmente colocamos a la derecha del . Estos puntos determinan la escala y la colocación de los demás enteros, en ella: los números naturales se van colocando hacia la derecha en orden, dejando entre dos consecutivos elmismo espacio que entre  y ; es decir, una unidad. Asimismo, a partir del 0, pero ahora hacia la izquierda, se colocan consecutivamente los números , , , 

 

Los enteros en la recta
En la recta numérica, el  está colocado a la derecha del  y el  del lado izquierdo. La distancia de  a  es  unidades y la distancia de  a  también es  unidades.

 

 y  en la recta numérica
La distancia de unnúmero a  se llama el valor absoluto del número y se representa encerrando al número entre dos rayas verticales, así:
 significa que el valor absoluto de  es .
 significa que el valor absoluto de  es .

Suma de números enteros
Las dos operaciones principales de los números enteros son la suma y el producto. El producto también se conoce como multiplicación. Veamos primero una interpretacióngeométrica de la suma.
Para hallar la suma de  y , dibujamos una recta numérica. Colocamos el lápiz en el y nos movemos  unidades hacia la derecha, con lo que llegamos al .
 

Suma de  y 
Cuando a un número le sumamos un número positivo, entonces nos movemos hacia laderecha y cuando le sumamos un número negativo, entonces nos movemos hacia laizquierda.
Ejemplos
1. Sumar .
Solución:Localizamos el  y desde ahí nos movemos  unidades hacia la izquierda, con lo que llegamos a  Así que .

 

Suma de  y 

2. Sumar 
Solución:
Localizamos a  y desde ahí nos movemos  unidades hacia la izquierda, con lo que llegamos a . Así que .

 

Suma de  y 

Sería poco práctico tener que utilizar la recta numérica para poder sumar enteros positivos y negativos; las siguientes reglasnos permiten hacerlo de manera sencilla, usando lo aprendido en la escuela primaria.
Reglas para sumar números enteros
* Para sumar dos números enteros con el mismo signo:
1. Se suman los valores absolutos de los números, es decir, como si fueran positivos
2. Se determina el signo de la suma:
a.
Si ambos son positivos, la suma es positiva.
b.
Si ambos son negativos, la suma esnegativa.
Ejemplo
* Sumar .
Solución:
Sumamos valores absolutos de los números: .
La suma es negativa ya que ambos son negativos: .
* Para sumar dos números enteros de signo contrario:
1. Se restan los valores absolutos de los números: el menor del mayor.
2. El signo de la suma es el signo del sumando que tenga el mayor valor absoluto .
Ejemplos
1. Sumar .
Solución:
Elvalor absoluto de  es , que es mayor que el de 
Restamos los valores absolutos: .
La suma es negativa porque ; así, .
2. Sumar .
Solución:
El valor absoluto de  es mayor que el de .
Restamos los valores absolutos: .
La suma es positiva porque ; así, .
Desde que aprendimos a sumar en la primaria, nos enseñaron que al sumar dos números, no importa el orden en el que los sumemos; así:

y alsumar más de dos números, lo que debemos hacer es agrupar dos de ellos, sumarlos y el resultado sumarlo al resto, por ejemplo: la suma  la podemos realizar de las siguientes dos maneras:

y simplemente escribimos

También sabemos que sumar  ''no hace nada'':

Propiedades de la suma de números enteros
A continuación se enlistan las propiedades de suma de los números enteros que acabamos deejemplificar.
La suma de números enteros satisface las siguientes propiedades:
* Propiedad de cerradura: Si  y  son números enteros, entonces  es un número entero.
* Propiedad conmutativa: Si  y  son números enteros, entonces.
* Propiedad asociativa: Si ,  y  son números enteros, entonces.
* Existencia del neutro aditivo El número  satisface la igualdad  para cualquier número...