El carema

Nace en Breselenz, Alemania,
Bernhard Riemann.

Publica una disertación sobre la teoría general de
funciones de variable compleja en la cual inventa

Hace una clase magistral sobre
fundamentos de Geometría a
petición de Gauss.
Publica un ensayo
sobre la Teoría de
N ú m e ro s, e n é l
introduce la función
zeta de Riemann.
Ley de la abolición de la
esclavitud que se aplica
al añosiguiente.

Fallece Bernhard
Riemann.
Tercer período de gobierno
de Ramón Castilla.

Combatede 2de mayo, siendopresidente
del Perú Mariano Ignacio Prado.

Ángulos en la
Circunferencia
A) Ángulo Central

C) Ángulo Semiinscrito

La medida del ángulo central es
igual a la de su arco correspondiente.

Es el ángulo que tiene su vértice
en la circunferencia, siendo uno de sus
ladostangente y el otro secante.

A

P

x=

θ

θ-β
2

β

B

x

x
O

x

θ

θ

B

APB : Ángulo semiinscrito
θ
x=

AOB : Ángulo central
x=θ

θ-β

2

A

Es el ángulo que tiene su vértice
en la circunferencia y sus lados son dos
secantes.
P

x=

2

TEOREMA 1

D) Ángulo Interior

B) Ángulo Inscrito

x

β

θ

A

C
C

θ
x
B

A

A

βB
R

x
D

θ

Si AB es diámetro:
x=

B

APB : Ángulo inscrito
θ
x=
2

θ+β

ACB = 90°

2

Demostración:

E) Ángulo Exterior

C
x

x=
θ

β

θ-β
2

A

B

x
180°

Por inscrito:
x=90°

TEOREMA 2
mAD=mBC=100°
Luego: 100°+60°+100°+x=360°

Calcula “x” si “O” es centro.
β

x=100°

B

θ

x

A y B son centros. Halla q (A es
punto detangencia).

O
70°

θ + β =180°

A

Demostración:

A

C

B
θ

Resolución:
B
x

140°

Resolución:

R
β

β

θ
O

N

R 60° R
30°
60°
A
R
R

R x

70°
A

En el cuadrilátero:
q+b=180°

30°

M

C

R

B
R

θ

m BOC=140°
Del ∆ BOC: 2x+140°=180°

TEOREMA 3

mMN=30°
2q=30°
q=15°

x=20°

A
B

Si CD // AB, calcula “x”.

Calcula “x” en:60°

T

D

C

2x
x

H

Si A, B y T son puntos de tangencia:
m ATB = 90°
A

40°

Demostración:

B

Resolución:

x

A

q
q a

a

B

2x

Resolución:
60°
D

T

q
q

H

A

b

C

100°

En el triángulo:
2q+2a=180°
q+a=90°
m ATB=90°

x

40°

100°
50°

x

B

b
b
180°-2b

* 2x=2q+180°-2b ** q+x=b
x=q - b+90°
b - q=x
x+b - q=90°Reemplazando: x+x=90°
x=45°

5)

Calcula “x” si “O” es centro.

1)

A

Calcula “x” si “O” es centro.
B
x
O

6)

C

150°

130°
B
b) 110°
e) 140°

a) 100°
d) 130°

Calcula “x” si “O” es centro.
B

O
x
Nivel I

9)

10°

C

c) 120°

Calcula “x” si “O” es centro.

O

x

A

C

a) 50°
d) 85°

b) 70°
e) 60°

c) 80°

A
a) 75°
d) 90°
2)b) 60°
e) 80°

50°
B
a) 100°
d) 160°

B
45° x
O

C

7)

b) 130°
e) 170°

3)

b) 60°
e) 90°

A

4)

A

8)

b) 210°
e) 320°

b) 20°
e) 45°

b) 15°
e) 30°

B
60°

A

C

Calcula “x” si “O” es centro.

a) 10°
d) 40°

x

c) 20°

Calcula “α” si “P” es punto de
tangencia.

A
a) 10°
d) 28°

70°

2x D
b) 20°
e) 50°

b) 15°
e) 28°

c)30°

O
C
b) 20°
e) 30°

12) Calcula “x” si mAB = 3x y
mAC = x.

c) 25°

A
B

P

B

x

O
C
P
40°

C
a) 10°
d) 25°

c) 30°

c) 200°

B

3α

a) 10°
d) 40°

60°

B
a) 10°
d) 25°

D

A

40°

a) 230°
d) 220°

C

50°

3x

50°

11) Calcula “x”.

Calcula “θ” si “A” es punto de
tangencia.

2θ

2x

B

x

c) 65°

c) 155°

Calcula“x” si “A” y “B” son
puntos de tangencia.

C
a) 50°
d) 80°

C

B

x
A

Calcula “x” si “O” es centro.

A

10) Calcula “x”.

O

c) 65°

c) 20°

a) 10°
d) 40°

b) 20°
e) 50°

c) 30°

13) Si mAB = 5x y mAC = x,
calcula “x”.
B

17) Halla x, siendo LT una recta
tangente.
T

A

4x

80°
C
a) 10°
d) 40°

P

x

A

O

a) 10°
d) 18°

C

x
B...