El Caso Armonico

El caso armónico. La línea con pérdidas
6.1 Introducción
Este capítulo tiene por objeto considerar las modificaciones de que son objeto las conclusiones y expresiones halladas en los Caps. 3, 4 y 5, cuando la línea presente pérdidas.
Para ello, partiremos de las expresiones obtenidas en el Cap. 2, que son generales para el caso armónico, y analizaremos el comportamiento de los parámetrosmás importantes de la línea.
Veremos entonces que la constante de propagación y resulta compleja; que la impedancia característica Zc es general compleja y ello introduce cambios radicales en los conceptos elaborados anteriormente relativos al módulo del coeficiente de reflexión Y(d)\ y a la potencia, pero que si es posible considerar la línea con “bajas pérdidas” Zc puede aproximadamente tomarsecomo real y en ese caso, de gran importancia práctica, los cambios son menores; y que el módulo del coeficiente de reflexión ¡r(d)l no será constante a lo largo de la línea, lo que implicará modificaciones en el uso del diagrama de Smith y en el manejo de las potencias incidentes y reflejadas.
6.2 La constante de propagación y
Recordemos la expresión (2.7 c) que nos da la constante depropagación y:
* = \JZY — y/(r + ¡íolf(g + jíoc) (2.7 c)
En general podemos escribir:
y — \/ZY = a -f jp (2.8)
Ya en la See. 2.1 se ha hablado de los papeles de a y (3, ahora nos ocuparemos de evaluarlos para el caso de “bajas pérdidas”, para ello pongamos la ec. (2.7 c) bajo la forma:

_/ r \ 1/2 / g \ 1/2
y desarrollando en serie de Taylor:
1 +1^)172 = 1 + (t) (r/jtü/) —(1/8)(r/jcu/)‘J + - (6A a)
1 + ifc )1/2 =1 + (t) fe/jcoc) _ (t) {gí]tíKf + • ■■ ■■ (6-1 b)
Si ahora suponemos que la línea tiene pérdidas pequeñas que permitan afirmar:
r/jto/ <$ 1 £/jcoc <? 1
en las ecs. (6.1) podremos despreciar los términos de orden superior a 2, con
lo que nos queda:
}
}
(1 + r/jco)1/2 (1 + S/jo*)1'2 = {1 + Ü-) (r/jwO — (1/8) (r/jco/)2} {1 +
í 1 ) | l ' " | || | ' 1 ) | 1 8 ) |
\ 2 \/2 ) | [yol/ | ) — 1 | k2V2) | \ yac) |
+ (1/2) (s/jcoc) - (±\ } = 1 + (I) + (-i) (-A) +
12

o sea, que:
y = i- (r/ZB) + y + J® Vfc (1 + V2) (6.2)
La constante de atenuación será:
1 r 1 „„ N
a — ~2 ~z~ ~2 gZ°
y la constante de fase:
P = co VW1 + V2) = p0(l + V2) (6.3 b)
donde (30 = <o es 'a constante de fase de la línea sinpérdidas de mismo l y c\
Calculemos ahora la longitud de onda respectiva:
. 2ji 2crc Xo .,
r= p*(i + v2) =(i+v2)
2n:
con K =■
P* ’
de donde concluiremos que la longitud de onda en una línea con pérdidas es menor que en la línea sin pérdidas de mismo l y c, esto siempre que r/l^= g/c (el
caso contrario fue tratado en el Cap. 1 con la denominación de “línea sin distorsión”).
6.3Los gráficos |\/(c/) |, |/(d)| y Z(d) para el caso con pérdidas
En el Cap. 2 hemos omitido deliberadamente el señalar la forma que toman los diagramas \V(d)\ e 11(d)\ para el caso general, ya que ahora con la ayuda de lo visto en los Caps. 3 y 4 surgirán en forma inmediata.
Escribamos nuevamente las expresiones (2.17):
v(d) — Zr Zc IR e“d e»4 + Zfl ~~ Z° I„ &~ad e~& (2.17 a)
JméKd) = ca(¡ e*d — Zr~— /« e-e"W (2.17 b)
o utilizando V+(d), V~(d), I+(d) e I~(d) tal como fueron definidas en las ecuaciones (2.18):
V(d) = V+(d) (1 + = VHd) (1 + rRe-™ e“«*) (6.5 a)
1(d) = I+(d) (1 + = r(d) (1 + r„e_2aá e"#*) (6.5 b)
por lo tanto será:
\V(d)\ = \V+(d)\ |1 + \rE\ | (6t6 a)
\l(d)\ = |/+(rf)| |1 — IFjíI c~2ccd (6.6 b)
Analicemos el comportamiento de la ec. (6.6 a)(el de la (6.6 b) es análogo). El termino \ V+(d)\ ya no es una constante respecto a d como ocurría en la línea sin pérdidas, sino que va creciendo en forma exponencial hacia la izquierda de la carga, el factor que lo acompaña (correspondiente al graficado en la figura 3.4) en este caso al ir girando sufre una atenuación y el lugar geométrico que recorre el vector correspondiente es una espiral....