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CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE ROTACIÓN

1. Movimiento de rotación- Un cuerpo rígido se mueve en rotación pura si cada punto del cuerpo se mueve en trayectoria circular. Los centros de estos círculos deben estar sobre una línea recta común llamada eje de rotación (eje z de la figura).

2. Variables de rotación- El ángulo  es la posición angular de la línea de referencia AP, y normalmente se mideen radianes. Convencionalmente se adopta como sentido positivo de rotación el contrario a las agujas del reloj.
Por definición  está dado en radianes por la relación: (1)
siendo s la longitud del arco.

El desplazamiento angular de P será:  = 2 -1 (2)

Se define la velocidad angular media como (3)
la velocidad angular  como (4)
Similarmente sedefine la aceleración angular media (5)

y la aceleración angular () (6)
Para un cuerpo rígido tanto  como  son únicos (valen lo mismo para cada punto).

3. Rotación con aceleración angular constante- Si la aceleración es constante, se verifican una serie de relaciones de la cinemática rotacional similares a la cinemática de traslación.

Movimiento detraslación (dirección fija) con
a = cte.
Movimiento de rotación (eje fijo) con  = cte.












4. Cantidades de rotación como vectores- Así como el desplazamiento lineal, la velocidad y la aceleración son vectores, las magnitudes angulares correspondientes, también pueden representarse vectorialmente.
Estas magnitudes se representan como vectores perpendiculares al plano derotación, y cuyo sentido está dado por la regla de la mano derecha.
5. Relaciones entre las variables lineales y angulares- distancia recorrida
Diferenciando respecto al tiempo:  (7)
Aceleración tangencial (8)
Aceleración radial (centrípeta) (9)

Para la rotación de un cuerpo rígido con respecto a un eje fijo, se cumplen las siguientes relaciones entre las variableslineales y angulares en forma vectorial












6. Energía cinética rotacional y momento de inercia- Rígido que gira con respecto a un eje vertical fijo.
La energía cinética de una partícula es , la energía cinética total del cuerpo debido a la rotación es la suma de las energías cinéticas de todas las partículas que componen el cuerpo.

==
La cantidad se llama momento deinercia o inercia de rotación del cuerpo (I) con respecto al eje de rotación particular I = (10)

El momento de inercia de un cuerpo depende del eje en torno al cual está girando, así como de la manera en que está distribuida su masa, y desempeña el papel de “masa” en las ecuaciones rotacionales.
Por tanto (11)

Para cuerpos continuos:


Teorema de ejes paralelos (Steiner)

IO = ICM+ mr2 (12)

El momento de inercia de cualquier cuerpo en torno a un eje cualquiera es igual al momento de inercia alrededor de un eje paralelo que pase por el centro de masa más la masa total por la distancia entre los dos ejes elevada al cuadrado.

7. Momentos de inercia de cuerpos sólidos – En la figura se muestran los momentos de inercia de varios sólidos de masa M en torno a ejeselegidos.

8. Momento de una fuerza o torque– El torque () (o torca) o momento de una fuerza F que actúa sobre una partícula en un punto P, cuya posición en torno al origen O del marco de referencia está dada por el vector posición r se define a través de la expresión

(13)




Es una magnitud vectorial, cuyo módulo es igual a
= r.F.sen(13’)





 = r.F.sen F.r(13’’)


9. Dinámica de la rotación de un cuerpo rígido-

Trabajo infinitesimal realizado por F

dW = = Fcos.ds = (Fcos.(rd)
dW = Fsen(-.(rd) = F.rd

Por tanto: dW =  d(14)

Si derivamos respecto al tiempo, obtenemos la potencia P =  (15)

Si actúan varias fuerzas:
dWneto ==

De acuerdo al teorema trabajo-energía: dW = dK
Pero dK = = IO  dIO ...