el circulo

UNIDAD 2 Geometría

2.4

2.4 La circunferencia y el círculo

33

La circunferencia y el círculo

OBJETIVOS


Calcular el área del círculo y el perímetro de la circunferencia.



Calcular el área y el perímetro de sectores y segmentos circulares.



Calcular la medida de ángulos y arcos en la circunferencia.



Resolver problemas de áreas y perímetros en los cuales están relacionadas variasfiguras
geométricas.

Definición

r

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos en un mismo plano, que están a una distancia
dada, de un punto dado, situado en el mismo plano. El punto dado se llama centro de la circunferencia.
El círculo es el conjunto de todos los puntos interiores a una circunferencia. El radio es el segmento que
une el centro con cualquiera de los puntos de lacircunferencia. La figura siguiente muestra una
circunferencia de radio r y centro en el punto O.

O

Algunos elementos en la circunferencia
Algunos de los elementos geométricos que se relacionan con la circunferencia son

Cuerda:
Es un segmento cuyos puntos extremos están sobre la circunferencia. En la figura de abajo los segmentos
AB y CD son cuerdas.

Diámetro:
Es una cuerda que pasa por el centro dela circunferencia. En la figura AB es un diámetro.

Secante:
Es una recta que contiene a una cuerda. En la figura las rectas AB y CD son secantes.

Tangente:
Es una recta que se encuentra en el mismo plano que la circunferencia y que la interseca solamente en un
punto. El punto de intersección se llama punto de tangencia. Una recta tangente es perpendicular al
radio en el punto de tangencia.
En lafigura la recta EF es tangente a la circunferencia en el punto P, por lo tanto el radio OP es
perpendicular a la recta tangente en P.

UNIDAD 2 Geometría

2.4 La circunferencia y el círculo

34

D
C
A

B
O
r

F
P

E

Área y perímetro
Las expresiones para calcular el área del círculo y el perímetro de la circunferencia son

A   r2
P  2 r

Ejemplo 1: Círculo inscrito en triángulo equiláteroEncuentre el área de un círculo inscrito en un triángulo equilátero de lado 6 cm.

Solución
La figura muestra el círculo inscrito en el triángulo equilátero, donde l es el lado del
triángulo, H es la altura del triángulo y r es el radio de la circunferencia.

Hr
H
r
r
l /2

Por el teorema de Pitágoras se puede calcular la altura H ya que se conoce el lado del
triángulo l  6



H2  l
2

2

 l22
2
H 2  l2  l  3l
4
4

H 

3l2  3 l  3 (6)  3 3
4
2
2

Ahora observe que el triángulo que tiene base r e hipotenusa H  r es semejante al
triángulo de base l/2 e hipotenusa l ya que ambos son rectángulos y tienen un ángulo
agudo común. Al aplicar proporcionalidad entre sus lados se tiene

UNIDAD 2 Geometría

2.4 La circunferencia y el círculo

35

H r  l
l
r
2
Despejando r ysustituyendo los valores de l y H se obtiene
H r 2
r
H  r  2r
H  3r
r  H
3
r  3 3 
3

3

Entonces el área del círculo es

A   r2  

 3

2

 3

Ejemplo 2: Triángulo isósceles inscrito en círculo
Encuentre el área de un triángulo isósceles inscrito en un círculo de radio R si la altura del triángulo es
igual al doble de su base.

Solución
En la figura se muestra el triángulo inscrito, así comosu altura y el radio del círculo
trazado a uno de los vértices del triángulo.

R
2b
2b  R

R

b
Al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es R, uno
de sus catetos es 2b  R y el otro cateto con longitud b se tiene
2



R2  b
2

2

2

  2b  R 

Despejando la base b en términos del radio R se tiene
2
R2  b  4b2  4bR  R 2
4

0  b2  16b2  16bRTrasladando los términos al lado izquierdo y factorizando se tiene

17b2  16bR  0
b(17b  16R )  0
Como b no puede ser igual a cero se tiene que

UNIDAD 2 Geometría

2.4 La circunferencia y el círculo

b  16 R
17

y

36

 

h  2b  2 16R  32R
17
17

El área del triángulo es

256 R
  3217R   289

A  1 b   h   1 16 R
2
2 17

2

Arcos, sectores y segmentos
Ángulo central:
Es el...