El conjunto de los numeros racionales

El conjunto de los números Racionales y el conjunto de los números
Irracionales
Notación:
Sean y tal que .
La expresión denota el resultado de dividir por lo cual también se escribe o sea:

La expresión se lee " sobre "

Observación importante:
La división por cero no está definida, o sea, la frase " dividido por cero" no tiene sentido matemático.
DefiniciónEl conjunto cuyos elementos son los números que se pueden presentar como , con y recibe el nombre de conjunto de los números racionales y se denota con el símbolo , así:


Observación:
Recuerde que significa " dividido por " y como la división por cero no está definida (o sea la frase " dividido por cero " no tiene sentido matemático), es que en la definición anterior se pide que .Ejemplo:
representan números racionales.

Definiciòn
Sean y .
En la expresión , recibe el nombre de numerador y recibe el nombre de denominador. Y a la expresión recibe el nombre de fracción.

Consideremos los siguientes ejemplos ilustrativos:
1. Como entonces = 3
2. Como entonces = -6
3. Como entonces = -50
4. Sea Como entonces = a
Los ejemplos (1),(2), (3) son casos particulares del ejemplo (4), el que nos permite enunciar el siguiente resultado.
Todo número entero es un número racional, o sea el conjunto de los números enteros es subconjunto del conjunto de los números racionales y escribimos:


Expansión decimal de un número racional

Sea y .
Si para un número representado como se realiza la división de por , se obtieneotra representación para dicho número la cual recibe el nombre de expansión decimal.
Ejemplo:

Determine la expansión decimal de
Solución:
Dividimos por

La expansión decimal de es 1.25
o sea, = 1.25

Ejemplo:
Determine la expansión decimal de
Solución:
Dividimos 3 por 8

La expansión decimal de es -0.375
o sea, = -0.375

Observemos que en los dos ejemplosanteriores el residuo (final) que se obtiene después de varias divisiones es cero (0), por lo que decimos que 1.25 y 0.375 son expansiones decimales periódicas finitas o simplemente expansiones decimales finitas.

Definición
Sea tal que y
Si al dividir por se obtiene como residuo final cero, se dice que tiene una expansión decimal finita.

Analicemos los siguientes ejemplosdonde al dividir el numerador por el denominador no es posible obtener un residuo final igual a cero.
Ejemplo

Determine la expansión decimal de:
a.)
b.)
Solución:
a.)



Por lo que = 0.1818..., donde los tres puntos significan que el término 18 se repite indefinidamente y en ese caso escribimos: = 0. (la barra horizontal sobre 18 indica que 18 se repite indefinidamente)b.)

Por lo que = -1.1666..., donde los tres puntos significan que el dígito 6 se repite indefinidamente y escribimos: = -1.1 (observemos que solo el 6 se repite)

Note que en el ejemplo anterior, al obtener las expansiones decimales de los números dados no se llega a un residuo final cero, pero a partir de cierto momento, los residuos se repiten, lo que a su vez implica que undígito - o un grupo de dígitos - del cociente, se repiten (en el ejemplo anterior se repiten 18 y 6 respectivamente) por lo que decimos que 0. y -1.1 son expansiones decimales periódicas infinitas.

Definición
Sea tal que y .
Si al dividir por no es posible obtener como residuo final cero, se dice tiene una expansión decimal periódica infinita.

Los resultados obtenidos enlos ejemplos (1), (2), (3) son casos especiales del siguiente hecho.
Todo número racional se puede representar por una expansión decimal
periódica finita o por una expansión decimal infinita (o simplemente
por una expansión decimal periódica).

Ejercicios:

Para cada uno de los números siguientes determine su expansión decimal e indique si ésta es finita o periódica infinita.
a.)...