El coseno

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo conlos otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Teorema del cosenoDado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estosángulos entonces: |
El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo  es recto o,dicho de otro modo, cuando , el teorema del coseno se reduce a:

que es precisamente la formulación del teorema de Pitágoras.


Utilización del teorema del coseno: ángulo olado desconocido.
El teorema se utiliza en triangulación (ver Fig. anterior) para resolver un triángulo, y saber determinar
* el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y loslados adyacentes:
.
* los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados:
. Arccos : cos -1
Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudosutilizando métodos simples, es decir, cuando el lado c es muy pequeño respecto los lados a y b —o su equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.
Existe un corolario del teorema del coseno para elcaso de dos triángulos semejantes ABC y A'B'C'
.
DEMOSTRACONES:
Por el teorema de Pitágoras
Vamos a considerar los casos cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y cuando c es adyacente a unángulo agudo y un obtuso.
Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos.

Consideremos la figura adjunta. Por el teorema de Pitágoras, la longitud c es calculada así:

Pero, lalongitud h también se calcula así:

Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos:

Por la definición de coseno, se tiene:

y por lo tanto:

Sustituimos el valor de u en la ecuación para c2,...