El Crack

MATEMÁTICAS 4º ESO TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE COMBINATORIA Y PROBABILIDAD

Juan J. Pascual

COMBINATORIA Y PROBABILIDAD Notas teóricas Variaciones: Las variaciones son agrupaciones ordenadas de objetos de un conjunto. Importa el orden y no se cogen todos los elementos del conjunto inicial. a) Variaciones sin repetición: Vm ,n = m (m − 1)(m − 2)⋅⋅⋅ = m (m − 1)(m − 2)⋅⋅⋅ (m − n + 1) =
nelementos

m! (m − n ) !

b) Variaciones con repetición: VR m ,n = m n Permutaciones: Las permutaciones son las distintas formas en que se pueden ordenar los n elementos de un conjunto. Importa el orden y, a diferencia de las variaciones, se cogen todos los elementos del conjunto inicial. c) Permutaciones sin repetición: Pm = Vm ,m = m (m − 1)(m − 2)⋅⋅⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = m ! d) Permutaciones conrepetición:
r,s,t... Pm =

m! r! ⋅ s! ⋅ t! ⋅ ....

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Combinaciones: Las combinaciones son agrupaciones de objetos en las que no importa su orden:

m  V m! C m ,n =   = = m ,n    n  n !( m − n ) !  Pn  

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Propiedades de los números combinatorios: m  m  a)   =   = 1       0  m       m   m    b)   =       n  m − n      

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Ejercicios resueltos de combinatoria y probabilidad

m − 1 m − 1 m      c)  +       n = n      n −1      

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El desarrollo del binomio de Newton
 1 n−1           (a + b) =   a n b0 +   a n−1 b1 +   a n−2 b 2 +   a n−3 b 3 + ... +  a b +             0    1 2  3 n − 1
n

n 

n 

n n 

 n 

n +  a0 bn      n

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Introducción a la probabilidad Hay situaciones en las que PREDECIR lo que va a suceder es muy sencillo, por ejemplo, suspender un examen cuando no se ha estudiado. Pero hay otras situaciones en las que se nos antoja casi imposible anticipar el resultado. Estas situaciones impredecibles son las que están sujetas a las LEYES DEL AZAR. En lassituaciones gobernadas por el AZAR nunca podemos anticiparnos con toda seguridad lo que va a ocurrir. La Teoría de la Probabilidad es un esfuerzo intelectual llevado a cabo por ilustres matemáticos para estudiar LOS PROCESOS ALEATORIOS.

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Experimento aleatorio Un experimento aleatorio es aquel del que no podemos predecir su resultado.

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Caso Un caso es cada uno de los posiblesresultados de un experimento aleatorio.

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Suceso Un suceso es un subconjunto extraído del espacio muestral. Decir que cuando un suceso es individual coincide con el concepto de caso.

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Espacio muestral El espacio muestral es el conjunto de todos los sucesos posibles.

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Sucesos compatibles Dos sucesos son sucesos compatibles cuando se pueden dar simultáneamente.
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Ejerciciosresueltos de combinatoria y probabilidad

Matemáticas 4º ESO

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Sucesos incompatibles Dos sucesos son sucesos incompatibles cuando no se pueden dar simultáneamente.

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Operaciones con sucesos Unión de dos sucesos A y B: A ∪ B Intersección de dos sucesos A y B: A ∩ B

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Probabilidad La probabilidad, P: Es la facilidad con la que se da un suceso. El valor de P pertenece al intervalo 0 ≤P ≤ 1 . 1. Si E es un suceso seguro, entonces P (E) = 1 2. Si E es un suceso imposible, entonces P (E) = 0 . Los sucesos imposibles suelen denotarse con el símbolo ∅ .

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La regla de Laplace: Permita calcular la probabilidad de que se de un suceso A. Así, la probabilidad de que se de el caso A está dada por:

P (A ) =

casos favorables casos posibles

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La Ley de los grandes números:Esta ley nos dice que las frecuencias relativas de un suceso se aproximan a la probabilidad de un suceso. En otras palabras, cuantas más veces repitamos la experiencia, los resultados más se parecerán a lo que nos indican las leyes de la probabilidad.

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Propiedades de la probabilidad: Antes damos una serie de definiciones:

Sucesos independientes: Dos sucesos A y B son independientes...