El debate sobre los fundamentos

Historia Epistemológica de la Matemática
El debate sobre Fundamentos (Ferrán Mir Sebarté)
Las Matemáticas difieren de las demás ciencias en que todas sus proposiciones deben ser demostradas. Cuál deba ser el contenido o la extensión de estas demostraciones es discutible, pero todos los matemáticos estarán de acuerdo en decir que el objetivo de la matemática es la demostración. Las únicas víaspara cuestionar una demostración son 1) discutir las presunciones sobre las que se basa o 2) discutir la validez de las inferencias que contiene. Si, después de reflexionar sobre ello, se aceptan las presunciones y las inferencias, debemos aceptar la demostración y afirmar que su conclusión es una verdad matemática, un teorema. La mayoría de las demostraciones matemáticas tienen como presuncionesotros teoremas ya demostrados con anterioridad; pero si insistimos en discutir las presunciones, llegaremos hasta determinados conceptos que simplemente se aceptan como verdaderos sin otra demostración.
Ello significa que, las matemáticas precisan de unos fundamentos: unas presunciones últimas (aserciones no demostradas y conceptos no definidos) sobre los que se edifican todas las demostracionesy conceptos matemáticos. El problema es, pues, si puede encontrarse un reducido número de conceptos básicos claros y de primeros principios verdaderos, sobre los que desarrollar de forma sistemática todas las matemáticas.
Las matemáticas, históricamente, estaban basadas en unas cuantas intuiciones geométricas y numéricas que podían ser imaginadas, pero no podían ser rigurosamente definidas (elproceso de contar o los postulados de Euclides [Ver 20 Snapper Pág. 553]. Durante el siglo XIX, los matemáticos, no sólo fueron exigiendo un mayor rigor en las definiciones, sino que, además, empezaron a desarrollar nuevos sistemas basados en principios que podían llegar a ser muy distintos a las intuiciones aceptadas desde los griegos: geometrías no euclídeas, teoría sobre los números reales,conceptos de cuerpo, anillo, grupo, etc. Paradójicamente, al separarse de estas intuiciones primitivas, los matemáticos se dieron cuenta de que sus nuevas teorías, más abstractas, podían ser aplicadas a un mayor número de campos.
La Teoría de Conjuntos
A partir de 1874, Georg Cantor (1845-1918) inició la exposición de la Teoría de Conjuntos. Su punto de partida eran las colecciones de objetos; yrápidamente, aunque no sin resistencias, se convirtió en el candidato ideal para ser usado como fundamento de la Matemática [Ver 30 Weil Pág. 2]. Con el decidido apoyo de Richard Dedekind (1831-1916) y Karl Weierstrass (1815-1897) y el firme rechazo por parte de Leopold Kronecker (1823-1891) [Ver 6 Giaquinto Pág. 120], Cantor siguió con la publicación de sus artículos en el Journal de Crelle y enMathematische Annalen, hasta que, finalmente, entre 1895 y 1897, publicó su tratado en dos volúmenes de Teoría de Conjuntos, en el que sistematizaba todas las ideas expuestas en sus anteriores artículos.
Las ideas básicas que Cantor exponía por primera vez son hoy familiares, pero en ese momento fueron realmente revolucionarias: la existencia de diferentes clases de infinito, las propiedades delos buenos órdenes, los ordinales y los cardinales, las operaciones con números transfinitos, etc. Como ya había defendido en sus anteriores artículos, Cantor afirmaba que las matemáticas son muy libres [Ver 8 Grattan Pág. 120] y que las únicas condiciones que deben exigirse para la incorporación de un nuevo concepto matemático, son 1) que no sea contradictorio y 2) que se defina en función de losconceptos previamente aceptados.


Las Paradojas
No obstante, no tardaron en surgir los primeros resultados paradójicos a partir de los principios de Cantor. La primera paradoja fue planteada en 1897 por Cesare Burali-Forti (1861-1931), aunque parece ser que Cantor ya era consciente de ella: si el conjunto de todos los ordinales es también un ordinal, ello conduce a una contradicción. En...