el diablo de los numeros

LA GACETA

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EL

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DIABLO DE LOS NUMEROS
Secci´n a cargo de
o
Javier Cilleruelo Mateo

La conjetura de Goldbach
En una carta dirigida a Euler y fechada el 7 de Junio de 1742, Christian
Goldbach (1690-1764) afirmaba haber observado que todo n´mero par mayor
u
que 2 pod´ escribirse como suma de dos primos; y que todo n´mero impar
ıa
u
mayor que 5 se pod´ representar como sumade tres. La resoluci´n de la
ıa
o
conjetura de Goldbach, como es conocido el primero de estos problemas, est´
a
considerado como uno de los problemas m´s dif´
a
ıciles de las matem´ticas.
a
Parece una broma el que un problema de enunciado tan sencillo sea inaccesible con las herramientas matem´ticas tan poderosas con las que se cuenta
a
hoy en d´ Sin embargo no es una excepci´n; hacesolo cuatro a˜os que Andrew
ıa.
o
n
Wiles consigui´ demostrar el “´ltimo teorema de Fermat”, el cual compet´
o
u
ıa
con la conjetura de Goldbach en sencillez y belleza.
En los ultimos meses la conjetura de Goldbach se ha popularizado, m´s
´
a
si cabe, debido a un motivo m´s prosaico. Una editorial ha ofrecido un mill´n
a
o
de libras a quien resuelva la conjetura en un plazo de 2 a˜os.No esta claro
n
si este incentivo intenta potenciar la investigaci´n en la teor´ de los n´meros
o
ıa
u
o simplemente es una operaci´n de propaganda de un libro reciente de la
o
misma editorial, “Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture” (El T´ Petros y
ıo
la Conjetura de Goldbach), del griego Apostolos Doxiadis. Sea como fuere,
cualquier excusa es buena para hablar una vez m´s de esteproblema y de las
a
matem´ticas tan extraordinarias a las que ha dado lugar.
a
´
¿POR QUE SE PIENSA QUE LA CONJETURA ES CIERTA?

4 = 2 + 2,
6 = 3 + 3,
8 = 3 + 5 = 5 + 3,
10 = 3 + 7 = 5 + 5 = 7 + 3,
12 = 5 + 7 = 7 + 5,
14 = 3 + 11 = 7 + 7 = 11 + 3,
16 = 3 + 13 = 5 + 11 = 11 + 5 = 13 + 3,
18 = 5 + 13 = 7 + 11 = 11 + 7 = 13 + 5,
20 = 3 + 17 = 7 + 13 = 13 + 7 = 17 + 3,
22 = 3 + 19 = 5 +17 = 11 + 11 = 17 + 5 = 19 + 3,

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DIABLO DE LOS NUMEROS

Carta de Goldbach a Euler

La conjetura ha sido verificada para todos los n´meros pares menores que
u
4 × 1014 por Joerg Richstein (1998).
Los primeros n´meros pares que acabamos de comprobar, no s´lo son reu
o
presentables como suma de dos primos, sino que el n´mero de representaciones
u
de n como suma de dosprimos, al que llamaremos r2 (n), parece crecer con n.
Esto se debe, entre otras cosas, a que los primos son bastante numerosos.
Si definimos π(x) como el n´mero de primos menores o iguales que x, el
u
teorema del n´mero primo afirma que π(x) ∼ x/ log x. En otras palabras, la
u
probabilidad de que un entero de tama˜o n sea primo es aproximadamente
n

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1/ log n. Desde estepunto de vista probabil´
ıstico, es f´cil comprobar que el
a
ıa
n´mero esperado para r2 (n) deber´ ser aproximadamente n/ log2 n. Sin emu
bargo este argumento, basado simplemente en la densidad de los primos, no
s´lo no es riguroso, sino que ofrece una visi´n equivocada del problema. Podeo
o
mos ofrecer ejemplos de conjuntos de impares m´s “numerosos” que los primos
a
donde hay infinitospares que no son suma de dos elementos del conjunto. Por
ejemplo, con los impares de la forma 4k + 1, que son mucho m´s numerosos
a
que los primos, no podemos representar los m´ltiplos de 4.
u
Esta ultima observaci´n nos invita a pensar que no s´lo debemos tener
´
o
o
en cuenta que hay muchos primos, sino que tambi´n habr´ que ver c´mo se
e
a
o
distribuyen en progresiones aritm´ticas.Si, por ejemplo, todos los primos, salvo
e
quiz´s un n´mero finito de ellos, fueran de la forma 6k + 1, habr´ infinitos
a
u
ıa
n´meros pares de la forma 6n + 4 que no se podr´ representar como suma de
u
ıan
dos primos. Pero este no es el caso. Dirichlet generaliz´ el teorema del n´mero
o
u
primo para progresiones aritm´ticas demostrando que existen infinitos primos
e
en todas las...