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Son curvas planas de segundo grado. También se les llama Secciones Cónicas, porque son el resultado de intersectar con un plano un cono de revolución. Las curvas cónicas propiamente dichas son tres: Elipse, Parábola e Hipérbola, aunque alterando el cono o la posición del plano pueden buscarse otras figuras, entre ellas la circunferencia.

ELIPSE

PARÁBOLA

HIPÉRBOLA

Cónicas singulares ydegeneradas

Elementos principales
Focos : son los puntos de contacto de la sección con las esferas tangentes al plano que la produce e inscritas en el cono. Diámetros : rectas que pasan por el centro geométrico. Dos diámetros son conjugados cuando cada uno pasa por la polar del outro. Ejes : mayor (o focal) y menor. Son los únicos diámetros conjugados perpendiculares. Vértice : cualquier puntodel eje mayor sobre la curva. Circunferencia focal : de radio igual al eje mayor, y centro en uno de los focos. En la Parábola el elemento Correspondiente es la recta Directriz. Circunferencia principal (o circunscrita): tiene como diámetro el eje mayor. Una recta tangente a una elipse se corta en ella con las perpendiculares que se tracen desde los focos. Radios vectores : segmentos que unen unpunto de la curva con los dos focos.

APOLONIO DE PERGA

se consideraba la intersección del cono con un plano perpendicular a una generatriz, y la cónica resultante dependía de que el ángulo de esta respecto del eje fuese igual (parábola), menor (elipse) o mayor (hipérbola) de 45º.

Astrónomo y geómetra, fue discípulo de Arquímedes y de la escuela de Euclides. Su obra principal es un tratadode 8 libros sobre las curvas cónicas, tan completo que durante generaciones fue conocido como “el gran geómetra”. Fue el primero en emplear los términos ELIPSE e HIPÉRBOLA, y en demostrar que los tres tipos principales de cónicas pueden producirse en el mismo cono de revolución. Anteriormente a el solo

Definió los principales elementos y propiedades de las curvas, determinó tangentes ynormales (las líneas más cortas que se pueden trazar desde un punto a una cónica), y formuló gran cantidad de teoremas y demostraciones. Entre sus aportaciones perdidas había un método rápido para calcular la longitud de la circunferencia a partir del diámetro.

Teorema de Apolonio : La suma de los cuadrados de dos diámetros conjugados en una elipse (la diferencia, en el caso de la hipérbola) esconstante e igual, por tanto, a la suma de los cuadrados de los ejes.

circunferencias focales

Es el lugar geométrico de los puntos de los que la suma de distancias a otros dos fijos es constante (los puntos fijos son los focos, y la suma de distancias es igual al diámetro mayor) También es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a otra dada que pasan por un puntointerior a esta, o de los puntos que equidistan de una circunferencia y de un punto interior.
C

circunferencia principal

d 1+ d = AB 2

d1 P d1 A F1 C d2 B

F2

D Eje menor eje mayor

A F1

1

2

3

4

B F2

Construcción

dados los focos y el eje mayor:

D

Localización de puntos

Basándonos en la primera definición, colocamos varias marcas arbitrarias (1,2,3,4) entreel centro y un de los focos. Estas divisiones permiten tomar con el compás pares de distancias (A1/B1, A2/B2), que suman la medida AB. Trazando arcos desde los focos con

medidas parciales tomadas desde A y B, localizamos los puntos de la curva. Puede definirse también con rectas tangentes que serán perpendiculares en la circunferencia principal a otras trazadas desde los vértices (derecha).Construcción

dados los ejes mayor y menor:
A F1 F2 B

En el primer caso se utiliza el teorema de Thales para relacionar las dos medidas diametrales, y trasvasar las semicuerdas perpendiculares de la circunferencia correspondiente al eje menor, al eje mayor. En la figura central se colocan las circunferencias de los diámetros mayor y menor concéntricas, que son afines a la elipse. Se...